【直观详解】让你永远忘不了的傅里叶变换解析
日期:2020年10月14日
正文共:6814字25图
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来源:github
使用联想链条和几何直观,辅以从实际需求衍生概念的思考模式,详解什么是傅立叶变换,为什么要做傅立叶变换等,帮助记忆和理解,目的当然是标题所说:让你永远忘不了傅里叶变换这个公式。另,这篇博客还从侧面一定程度上回答了另一个问题:为什么要研究复数
本篇博客为形象展示傅里叶变换和欧拉公式与初等群论两个视频的笔记结合,希望通过此篇让所有读者对傅立叶变换有一个全新的认知,并且宣传一波 3b1b 良心视频系列!重塑对未知和知识的渴求
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欧拉公式与旋转
对称性 symmetry
考虑一个特例操作:一个点变到另一个点:(1,0)通过伸缩和旋转到(-1,0),长度不用变,只需旋转即可 此时,注意到了一个形式很有特点的定义: ,-1 就是我们需要的目标位置,那如何从(1,0)出发进行两次同样的操作可以得到(-1,0)呢?(这个操作即 i " role="presentation" style=" box-sizing: border-box; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; "> 这个虚数单位定义的操作)答案即:一个单位i " role="presentation" style=" font-weight: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; ">i 表示旋转90°即可更意外的发现,进行一次 i " role="presentation" style=" box-sizing: border-box; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; "> 操作,如果是逆时针旋转90°,正好会落在二维平面y轴的(0,1)与单位长度不谋而合更大胆的假设,如果y轴自带虚数单位,如,就有旋转操作了,是不是就就能通过乘法来描述处在这个平面上的所有变换了
指数函数 Exponentiation
复平面 Complex Plane
总结
傅里叶变换
什么是傅立叶变换
傅立叶级数
[ 公式表示 ]
[ 联想链条 ]
【看到】傅立叶变换
1. 绕圈记录法:同一事物的不同角度
首先把黄色曲线缠绕到一个圆上,大小就是原本信号的振幅
圆周围的图像由白色的箭头绘制而成,速度可变,上图中的白色箭头移动速度是每秒钟转过半圈(这个速度是对于下面的圆形图像来说,每秒钟在圆形图像中转半圈),对应上面的则是虚线表示一圈走到的位置,0.5拍子/秒
此时,有两个频率在起作用,一个是信号的频率:3次震荡/秒,另一个是图像缠绕中心圆的频率,为0.5圈/秒,第二个频率可以自由改变,相当于一个变量,下面的动图直观的展现了缠绕速度变化时的可视化表现
2. 质心记录法:新维度的特征提取
第一步:旋转的表示
第二步:缠绕的表示
第三步:质心的表示
最终步:整理积分限和系数
补充
[ 原信号的长度 ]
总结
(1)e^(πi)表示单位圆,添加自变量即可表示旋转 (2)与原函数相乘缠绕到单位圆上 (3)为求质心的特征,进行积分计算
一个逆时针旋转360°画成的圆 ➜ 表示运动,需要原函数的自变量,时间 t " role="presentation" style=" line-height: 0; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; white-space: pre-wrap; display: block; font-family: MJXc-TeX-math-I, MJXc-TeX-math-Ix, MJXc-TeX-math-Iw; padding-top: 0.413em; padding-bottom: 0.296em; box-sizing: content-box !important; ">表示旋转速度,需要自变量,频率 规定变换的采样方向为顺时针,加负号 乘以原函数缠绕到单位圆并记录(此处使用g符号标识原函数是为了和频率符号区分 为了计算质心特征,积分 自变量为频率 f " role="presentation" style=" font-size: 15px; box-sizing: border-box; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; ">,写出函数表达式g ^ ( f " role="presentation" style=" line-height: 0; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; color: black; font-size: 15px; white-space: pre-wrap; display: block; font-family: MJXc-TeX-math-I, MJXc-TeX-math-Ix, MJXc-TeX-math-Iw; padding-top: 0.413em; padding-bottom: 0.296em; box-sizing: content-box !important; ">) = ∫ − ∞ + ∞ g ( t ) e − 2 π i t f d t
— THE END —
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