顾险峰: 庞加莱猜测的证明和应用

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2021-04-12 19:20


来源:中国科学院数学与系统科学研究院  

本文约4200字,建议阅读15分钟

本文为你分享顾险峰教授讲座的精彩内容。


庞加莱猜测的证明,在几年前引起世人的广泛关注,更掀起中外数学界一场不小的风波。8月8日,丘成桐先生弟子顾险峰教授在知社讲坛做了题为《庞加莱猜测有用吗?》的精彩报告,从医学影像到人工智能, 从虚拟现实到物联网络, 不求八卦和恩怨, 唯有几何和民生。





首先感谢李江宇教授的邀请,感谢知社学术圈,清华校友会,海峡研究院,提供宝贵的机会和大家探讨纯粹数学的实际应用。


这些工作是在丘成桐先生的指导下,和许多数学家,计算机科学家以及医生共同完成的。


什么是庞家莱猜测?


假设曲面由橡皮膜做成,如果我们能够将其中的一个曲面不撕破,不粘连地渐变成第二个,那么我们说两个曲面具有相同的托扑。曲面的托扑由曲面具有的环柄数目(亏格)所决定,上图展示了亏格为0,1,2的不同托扑的曲面。


假设有一只具有高度智力的蚂蚁生活在曲面上。蚂蚁没有三维的概念,蚂蚁能否判别出曲面的托扑?


庞加莱发明了同伦理论:考察曲面上任意封闭曲线是否能够缩成一个点。女孩雕像曲面上任意圈能够缩成一个点,小猫曲面上存在这样两个圈无法缩成点。


庞加莱由此给出了一种方法:如果曲面上所有的圈都能够在曲面上渐变成一个点,则曲面亏格为零,曲面和球面托扑等价。


庞加莱将这一结论向高维推广,图中所示是一只实心的兔子,它是一个三维流形。


庞家莱猜测:单连通的三维封闭流形和三维球面托扑等价。


哈密尔顿的里奇曲率流


哈密尔顿发明了里奇曲率流的证明纲领,最终的证明由Perelman给出。数个团队补充了完整的证明细节。

视频:这里我们显示曲率流的一个可视化视频,兔子曲面和大脑皮层曲面在曲率流下变形,渐渐变成球面。


知社学术圈



哈密尔顿曲率流在曲面上的情形,黎曼度量张量随时间演化,度量张量的变化率正比于曲率,使得曲率的演化遵循非线性热流过程,直至变成常值曲率,即为球面。


陈省身大师证明过曲面上局部存在所谓的等温坐标,在等温坐标下高斯曲率具有简洁的表达式。


曲面的曲率流是共形的,或保角的:度量张量彼此相差一个标量函数。


保角变换下,曲率的变化被Yamabe方程所控制。



平面上的全纯函数是保角变换。局部形状被保持。


米开朗基罗的大卫王的雕像被保角地映到平面上面。我们看到曲面的保角变换保持局部形状。


共形变换的微分几何定义,以及几何直观。


共形变换保持角度,同时将无穷小圆映到无穷小圆。


一般的微分同胚,将无穷小圆映到无穷小椭圆。


曲面的曲率流推出所谓的单值化定理:任意封闭的度量曲面都能够保角地变换成常曲率曲面,球面,欧式平面或双曲曲面。换言之,曲面可以允许三种几何中的一种:球面,欧式或双曲几何。这一定理的三维推广就是瑟斯顿猜测:任何三维流形都可以被分解为素流形,每个素流形允许八种几何中的一种。

哈密尔顿的曲率流在曲面上形态良好,不会产生奇异点;在三流形上,有限时间内,流形上可能产生爆破点,在这些点处,曲率变成无穷大。我们将流形沿着爆破点切开,每个连通分支接着运行曲率流。这叫做对三流形的“手术”。我们需要证明,在整个流的过程中,产生的爆破点是有限的。


在座的有些高中同学,我们用离散的语言解释一下,精神实质是相同的。我们用多面体网格来逼近光滑曲面,它们由三角面片粘合而成。每个三角面片可以是欧式三角形,球面三角形或双曲三角形。

我们为每条边附上一个正数,使得在任意三角面片上三角形不等式成立,这样一个赋值就是一个离散黎曼度量。如果我们保持组合结构不变,可以有无穷多个离散黎曼度量。


曲率是衡量曲面局部上和平面之间的差异,所以可以用“角欠”来表示。离散情形下,高斯-博内定理依然成立。


连续情况下黎曼度量决定高斯曲率,离散情况下,三角形边长决定内角。边角关系由余弦定理来表示。


离散的共形变换比较复杂,我们的想法来自于共形变换的保圆性:无穷小圆映到无穷小圆。


瑟斯顿提议如下的方法:给定平面区域,我们将其三角剖分,在定点处放置圆盘。每条边上的两个圆盘彼此相切。然后我们改变圆盘半径,保持三角剖分的组合关系,和圆盘间的相切关系,三角剖分覆盖的区域随之发生变化。初始三角剖分,和最终三角剖分的区域间建立了分片线性映射。如果三角剖分逐步加细,直至无穷,则分片线性映射收敛到光滑的共形变换。



我们建立了离散曲率流的方程,这里u是半径的对数。哈密尔顿发明了曲率流,Perelman发现曲率流是某种特定能量的梯度流,所谓的“熵”。离散的“熵”能量是凸能量,因此我们可以应用牛顿法来优化。


我们用离散曲面曲率流方法计算曲面的单值化。


带边曲面的单值化非常类似,每个边界被映成常曲率空间中的圆。


应用


医学图像领域的应用。


大脑皮层曲面,及主要的功能区域。


我们将大脑皮层用曲率流共形地映到球面上,从而为大脑表面的每一点精确建立坐标。


这种“共形脑图”适用于大脑皮层曲面的注册,匹配和比较。


大脑皮层曲面上有一些显著的沟回,我们沿着这些沟回切开,再用曲率流映到平面多孔圆盘上。


通过建立大脑皮层间的映射,我们可以追踪大脑萎缩的模式,正常大脑老化,皮层收缩是各向同性的。一些疾病会诱发各向异性的萎缩。


有些神经疾病会诱发沟回变厚,我们定期扫描病人的大脑,追踪皮层沟回的厚度变化以帮助诊断。


最优传输理论:平面区域上给定两个概率密度,存在保测度的自映射。在所有保测度的映射中,使得传输代价最小者被称为是最优传输映射。最优传输映射的传输代价被称为是两个概率密度之间的Wasserstein距离。

比如,我们考虑一个国家的马铃薯亩产率和消耗率,这给出了两个概率密度函数。政府设计一套马铃薯的运输方案,使得处处供销平衡,同时极小化全国的运输成本,这等价于求最优传输。Kontarovich凭借这一理论赢得了诺贝尔经济奖。


Wasserstein距离的计算依赖于解非线性的蒙日-安培偏微分方程。这一方程曾被丘成桐先生应用于理论物理领域,获得了菲尔茨奖。蒙日-安培方程的解给出了最优传输映射,从而得到Wasserstein距离。


我们设计了实验,扫描了上百人的大脑皮层曲面,测试了他们的智商,用曲率流方法将大脑皮层映射到单位球面上。从而将大脑皮层的黎曼度量转化为球面上的概率密度。


我们将这些大脑依照智商排序,并用像素的灰度值表示两个大脑间的Wasserstein几何距离,我们看到,靠近对角线的区域,颜色较暗,远离对角线的区域,颜色较亮。这意味着智商距离和几何距离相一致。在一定程度上,大脑形状反映了智商。






虚拟肠镜:直肠癌是男子的第四号杀手,一般由直肠息肉演变而来。发现并监控直肠息肉是最为有效的防治方法。传统的光学肠镜方法医生和病人有肢体接触,具有一定的侵犯性。病人需要被全身麻醉,容易诱发并发症。虚拟肠镜用CT技术采集病人的直肠几何曲面,并用曲率流的方法将直肠曲面展开摊平,将肠曲面上的所有皱褶打开,暴漏所有的息肉。同时对于从不同姿态获取的直肠曲面可以建立精确的映射,以提高诊断准确率。


计算机视觉:


人脸的表情变化是非共形的。


利用曲率流,我们将三维人脸曲面映到二维平面的标准区域上,这样将三维几何问题转化为二维图像处理问题。


通过在平面上进行图像注册,我们可以自动精准地找到三维曲面特征点之间的对应。



我们发明了高速,高分辨率的动态三维扫描仪,可以每秒获取动态三维人脸达180帧。利用曲率流的方法,我们可以追踪帧与帧之间的曲面,从而可以分析提取表情。


动态曲面追踪是在二维平面上完成的。


利用动态曲面追踪的结果,我们可以建立特定演员的三维表情数据库,从而实现虚拟演员的概念。导演可以根据剧本自主从数据库中选取相应的表情,不需要真人演员现场表演。从而使演员青春永驻,降低拍摄成本。


我们将带有不同表情的三维人脸用曲率流的方法映到平面圆盘上,不同人脸的面积变化率给出了圆盘上不同的概率密度函数,我们可以用最优传输的Wasserstein距离来衡量。


表情分类:我们选了9个人,每个人三种表情:悲哀,欢乐和惊讶。我们计算任意两张人脸间的Wasserstein距离。


我们将27张脸变成27个点,映射到平面上,使得任意两点间的平面距离等于它们对应的人脸间的Wasserstein距离。我们看到3个团簇,每个簇代表一族人脸曲面带有相近的表情。


几何建模领域:传统样条理论是构建在仿射不变量上的,例如极形式理论等。在流形上建立样条,需要流形具有仿射结构。不幸的是,根据陈省身的纤维丛理论,高亏格曲面上仿射结构的存在性由拓扑障碍,因此样条曲面上不可避免地存在一些奇异点。奇异点处光滑性变差。


流形样条:我们希望将扫描的点云转换成高质量的样条曲面。因为奇异点不可避免,退而次之,我们希望能够完全控制奇异点的位置和指标。这可以由曲率流方法实现:我们将全部曲率集中到奇异点出,其他部分曲率为零。在平直度量上构造样条曲面。


若曲面有边界,则我们能够构造无奇异点的样条曲面;若曲面封闭,我们能够构造只有一个奇异点的样条曲面。


流形样条:局部坐标之间的变换要求是仿射变换。







流形样条的一些计算实例。


三维体样条。


可视化实例:将曲面映入平面,利用最优传输映射方法控制不同部分间的面积比例,例如头部具有不同的放大系数。

物联网应用(无线传感器网络)


假设图中每一个点代表一只手机,手机可以在很小的半径内通信。但是没有一只手机具有全局信息,网络中具有各种障碍物。传统的方法是所谓的贪婪算法:假设每一只手机具有GPS位置信息。目标的GPS坐标已知,当前的手机将信息传给自己的一个邻居,其位置更靠近目标。在邻居障碍物的尖点处,贪婪算法失败。


利用曲率流,我们将整个网络变成圆盘,每个障碍区间变成圆洞,在这种虚拟坐标下,贪婪算法一定成功。


但是在这种情况下,边界处的传感器会负载过重。为了实现负载平衡,我们将网络关于其边界反演,然后在覆盖空间上进行路由,以实现负载平衡。


打破神话:人们一直认为随机路由可以安全地隐藏消息发出者的位置信息。我们发现平面上如果随机行走到达边界点的概率已知,则消息发出点的位置可以计算出来。这种概率在曲率流下不变,因此曲面情形可以用曲率流转化为平面情形算出。


计算拓扑问题:双曲曲率下,每个同伦类具有唯一的测地线。


最短词问题:给定高亏格曲面,给定同伦群基底。任给一条封闭曲线,曲线由基底生成,因而可以表示成由字母组成的词。但是这种表示并不唯一,求其中最短者被称为是最短词问题。这一问题被证明是NP问题。


底空间的一条封闭的圈可以被提升为万有复迭空间的一条路径


不同伦的圈被提升为终点不同的路径



高亏格曲面用曲率流可以算出双曲度量


曲面上的一条圈可以用Birkoff算法变形成一条测地圈


同伦群的基底变成了测地线


如果度量为双曲,所有的基底和圈都是测地线,则最短词问题多项式可解。


总结:曲率流的实际应用
A.大脑形态学,虚拟肠镜
B.表情识别,人脸识别
C.动态曲面追踪,虚拟演员
D.流形样条
E.无线传感器网络路由
F.计算拓扑


总结:
A.庞家莱猜测加深了人类对于自然界的理解
B.证明庞家莱猜测过程中,人类发明了许多新颖的概念,方法和理论工具
C.推动了纯粹数学和物理的发展
D.证明过程中所发明的曲率流方法具有极大的潜质,被广泛地应用于众多的工程和医疗领域


编辑:于腾凯
校对:林亦霖
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