10个最酷的数学成果,你妈叫你回家做数学!

数学算法俱乐部

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2022-01-02 02:17

数学算法俱乐部

日期 : 2021年12月31日       

正文共 :3131

来源 : 网络
数学产生的结果有时是美丽的、令人难以置信的,或者仅仅是意想不到的。结果如下:
1、四色定理

四色定理
四色定理最早是在1852年由一个叫Francis Guthrie的人发现的,他当时正在尝试在英格兰所有的郡的地图上涂上颜色。没有多少事要做。他发现了一件有趣的事,他只需要最多四种颜色,就可以确保共享边界的所有线都不会有相同的颜色。Guthrie想知道这是否适用于任何地图,而这个问题成了一个多年未解决的数学好奇心。
1976年,这个问题终于由肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯解决了。他们发现的证据相当复杂,部分依赖计算机,但它指出,在任何政治地图中,只需要四种颜色来给每个国家着色,这样就不会有同一种颜色的国家接触。

2、布劳威尔不动点定理

布劳威尔不动点定理
这个定理来自于数学中的一个分支,叫做拓扑学,是由Luitzen Brouwer发现的。虽然它的技术表达是相当抽象的,它有许多迷人的现实世界的含义。假设我们有一张照片(比如《蒙娜丽莎》),我们可以拿一份。然后我们可以做任何我们想做的事情,让它变大,让它变小,旋转它,弄皱它,什么都行。布劳威尔的不动点定理说,如果我们把这个副本盖过我们的原始图片,必须有至少一个点,在副本上,是完全超过了原来的点。它可能是蒙纳的眼睛、耳朵或可能的微笑的一部分,但它必须存在。
这也是三维的:假设我们有一杯水,我们拿着勺子,想搅拌多少就搅拌多少。根据布劳威尔定理,至少会有一个水分子,和我们开始搅动之前的位置是完全相同的。

3、罗素的悖论

罗素
在20世纪之交,许多人被一个叫做集合论的新的数学分支迷住了。基本上,集合是对象的集合。当时的想法是,任何事情都可以变成一套:所有类型的水果组合和所有美国总统的组合都是完全有效的。另外,这一点也很重要,集合可以包含其他集合。1901年,著名数学家伯特兰·罗素意识到这种思维方式有一个致命的缺陷,那就是,没有任何东西能被做成一套。
罗素决定对事物进行元分析,并描述了一个包含所有那些不包含自己的集合。所有水果的集合本身并不包含,所以它可以和其他许多水果一起包含在罗素的集合中。但罗素的布景又如何呢?它本身并不包含,所以它也应该包括在内。但是等等……现在它确实包含了它本身,所以我们自然要把它取出来。但我们现在必须把它放回去等等。这一逻辑悖论引发了对集合论的彻底改革,集合论是当今数学最重要的分支之一。

4、费尔马最后定理

费尔马最后定理
还记得毕达哥拉斯学派的定理吗?它与直角三角形有关,并且表示两个最短边的平方和等于最长边的平方(x平方+y平方=z平方)。Pierre de Fermat最著名的定理是,如果用大于2的任何数替换平方(例如,不能说x立方的+y立方的=z立方的立方),那么这个等式就不成立,只要x、y和z是正整数。正如费马自己写的:“我发现了这方面的一个真正奇妙的证据,这个空白处太窄了,难以容纳。”这真的太糟糕了,因为当费马特在1637年提出这个问题时,它已经有一段时间没有得到证实了。有一段时间,我的意思是,它在1995年被一个叫安德鲁·威尔斯的人证明了。

5、世界末日论

这篇文章的大多数读者都是人,这是一个相当合理的假设。作为人类,这个条目将特别发人深省:数学可以用来确定我们物种何时会灭绝。不管怎样使用概率。
这个论点基本上是说,人类的时间差不多到了。这个论点的一个版本(归属于天体物理学家J.Richard Gott)出奇地简单:如果一个人认为人类的整个生命周期是从出生到死亡的时间线,那么我们就可以确定我们现在所处的时间线。
因为现在只是我们作为一个物种存在的一个随机点,所以我们可以用95%的准确率说,我们处在时间线的中间95%的位置。如果我们现在说,我们正好是进入人类生存的2.5%,我们就得到了最长的预期寿命。如果我们说我们有97.5%的人生活,那我们的平均寿命就最短了。这使我们能够得到人类预期寿命的范围。根据哥特的说法,从5100年到780万年之间,人类死亡的概率是95%。所以,这就是你要做的,人类最好把它列在那张遗愿清单上。

6、非欧几里德几何

非欧几里德几何
另一点你可能会记得从学校是几何学,这是一部分数学涂鸦在你的笔记是重点。我们大多数人所熟悉的几何学叫做欧几里德几何学,它是基于五个相当简单的自明真理,即公理。它是线和点的规则几何,我们可以在黑板上画出来,在很长一段时间里,它被认为是几何学工作的唯一方式。
然而,问题在于,欧几里德在2000多年前所描述的不言而喻的事实,并不是每个人都如此不证自明。有一条公理(称为平行公设)从未正确地适用于数学家,几个世纪以来,许多人试图使它与其他公理相协调。在18世纪初,人们尝试了一个大胆的新方法:把第五个公理简单地换成别的东西。一个新的几何学系统被发现,而不是破坏整个系统的几何学,现在被称为双曲几何学。这导致科学界发生了彻底的范式转换,并为许多不同类型的非欧几何打开了大门。其中一个比较突出的类型叫做黎曼几何,它被用来描述爱因斯坦的相对论(有趣的是,我们的宇宙不遵守欧几里德几何!)

7、欧拉公式

欧拉公式
欧拉公式是这个列表中最强大的结果之一,这要归功于有史以来最多产的数学家之一,Leonhard Euler。他一生中发表了800多篇论文,其中许多是瞎子。
乍一看,他的结果看起来非常简单:e^(i*pi)+1=0。对于那些不知道的人,e和pi都是数学常量,它们出现在各种意想不到的地方,而我代表的是假想单位,一个数等于-1的平方根。关于欧拉公式,值得注意的是它是如何将数学中五个最重要的数(例如,pi,0,和1)组合成这样一个优雅的方程的。物理学家理查德·费曼(Richard Feynman)将其称为“数学中最显著的公式”,其重要性在于将数学的多个方面统一起来的能力。

8、图灵的万能机器

万能机器
我们生活在一个由计算机控制的世界里。你现在正在电脑上阅读这份清单!不用说,电脑是20世纪最重要的发明之一,但如果你知道电脑的核心是理论数学,这可能会让你吃惊的是,它的核心就是从理论数学领域开始的。
数学家艾伦图灵开发了一个理论对象称为图灵机。图灵机就像一台很基本的计算机:它使用一个无限长的磁带和3个符号(比如0,1和空白),然后操作一组指令。指令可以是将0更改为1,将一个空格向左移动,或者填空并向右移动一个空格。这样,图灵机就可以用来执行任何定义良好的函数。
图灵接着又描述了通用车削机,它是一种图灵机,可以用任何输入模拟任何图灵机。这基本上就是存储程序计算机的概念。图灵只使用数学和逻辑,在技术甚至可以制造一台真正的计算机之前,他就创建了计算机科学领域。

9、无限的不同层次

无穷大已经是一个很难掌握的概念。人类不是生来就能理解无穷无尽的事物的,正因为如此,数学家们对无穷大一直持谨慎态度。直到19世纪下半叶,乔治·康托才发展出数学中称为集合论的分支,这个理论使他能够思考无穷大的本质。而他的发现确实令人难以置信。
结果是,每当我们想象无穷大,总会有不同类型的无穷大。无穷大的最低级是整数的量(1,2,3…),它是一个可数无穷大。通过一些非常优雅的推理,Cantor确定在这之后还有另一个无穷的级别,即所有实数的无穷大。这种无限是不可数的,这意味着,即使你在宇宙中拥有所有的时间,你也不可能列出所有的实数,而又不失一些。但是等一下,事实证明在那之后还有更多不可数的无穷级。有多少?当然是无限的数字。

10、哥德尔的不完全性定理

哥德尔
1931年,奥地利数学家哥德尔证明了两个定理,它们震撼了数学世界的核心,因为它们一起展示了一些令人沮丧的东西:数学不是,也永远不会是完整的。
在不涉及技术细节的情况下,哥德尔表明,在任何正式系统中,都有某些关于该系统的真实陈述,而该系统本身是无法证明的。从根本上说,他证明了公理化系统不可能是完全自成一体的,这与之前所有的数学假设背道而驰。永远不会有一个包含所有数学的封闭系统,只有那些随着我们不成功的尝试而变得越来越大的系统。



— THE END —


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