抽样分布：经常听到的卡方分布、t分布等的含义是啥？

“ 统计学相关知识，是数据科学重要的基础之一。”

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抽样分布

首先，什么是抽样分布呢？

在上篇文章中，我们介绍了统计量的概念（不含任何未知参数的样本的函数，就叫统计量），统计量的分布，就是抽样分布。

抽样分布中，最常用的分布其实是4种：z 分布（即正态分布）、卡方分布、t分布、F分布。每种分布对应假设检验中的一种检验方法，后续讲假设检验的时候再详细讲解。因此这几种分布的知识是后续重要的基础。

关于正态分布大家都比较了解，因此重点阐述一下后面的三种分布。

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卡方分布

先介绍一下卡方分布相关的内容。

（1）卡方分布的定义

定义：当 ，则以下的统计量（即样本取平方后求和）：

服从自由度为n的分布，即卡方分布。记为：。这里的自由度，指的就是独立变量的个数，因此肯定是正整数。

（2）卡方分布的图像及特点

卡方分布的图像如下：

• 当自由度是2的时候，比较特殊，刚好是指数分布。

• 当自由度大于2的时候，卡方分布的曲线都是单峰曲线，在n-2处取得峰值。

• 曲线关于x=n-2是不对称的，当n越大，峰向右移动；当n无限大时，可以用正态分布近似。

（3）卡方分布的相关定理

卡方分布的期望和方差有以下特点：

卡方分布具有可加性。当两个（或者多个）随机变量均服从卡方分布时，且相互独立，那么加和之后的分布也服从卡方分布，自由度是两个自由度之和，即：

关于卡方分布，就主要介绍这些。

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t分布

接下来我们介绍一下t分布。

（1）t分布的定义

定义：当 ， Y服从自由度是n的卡方分布，且X、Y相互独立，则以下的统计量

服从自由度为n的t分布。因此，t分布是由标准正态分布和卡方分布构造的分布。

（2）图像及特征

t分布的图像如下：

t分布是具有对称性的。

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F分布

最后我们介绍一下F分布。

（1）F分布的定义

定义：当，且U、V相互独立，则以下的统计量

服从自由度为  的F分布。这里的两个自由度是有先后顺序关系的。因此，如果互换一下分子分母，很容易得出结论：

从上面很容易了解到，F分布是由两个卡方分布构造的。

（2）F分布的图像

F分布的图像如下：

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正态总体下的抽样分布

几个重要的分布讲完了，最后我们再介绍一下在总体是正态分布的前提下，常用统计量的分布规律。再强调一下，下面的规律都是基于总体服从正态分布的前提，这里只需要总体是正态分布即可，不需要是标准正态分布。

以下的这几个抽样分布还是很重要的，后续做区间估计的时候会用到这几个构造枢轴变量，用以进行总体参数估计。

（1）关于样本均值的分布

样本均值经过以下标准化后，服从标准正态分布。

即样本均值的期望等于总体期望，样本均值的方差是总体方差的n分之一。

若将分母中的总体标准差改为样本标准差，则服从自由度为n-1的t分布：

这两个不同处理之下的不同分布，还是需要注意一下。

（2）关于样本方差的分布

样本方差乘以系数后，服从自由度为n-1的卡方分布：

需要注意的是，这里的自由度是n-1，因为这里样本方差是用每个样本减去样本均值。如果改为减去总体均值，其他内容不变，则服从自由度为n的卡方分布。因为样本均值多了一个约束（均值公式），因此自由度少了一个。

（3）关于样本均值和样本方差的关系

样本均值和样本方差相互独立。

（4）两个正态总体时，两样本的关系

上面讲到的几个都是在单个正态总体的情况下。当有两个正态总体时，两个样本的方差和两个总体方差有以下分布：

即处理后的分布服从F分布。

另外，一种特殊情况下，当时，

其中，

关于卡方分布、t分布、F分布相关的内容就先分享到这里，欢迎继续关注~