作者：皮特潘

编辑:    致新

dice loss 来自文章VNet(V-Net: Fully Convolutional Neural Networks for Volumetric Medical Image Segmentation)，旨在应对语义分割中正负样本强烈不平衡的场景。本文通过理论推导和实验验证的方式对dice loss进行解析，帮助大家去更好的理解和使用。

dice loss 定义

dice loss 来自 dice coefficient，是一种用于评估两个样本的相似性的度量函数，取值范围在0到1之间，取值越大表示越相似。dice coefficient定义如下:

其中其中 是和之间的交集，和分表表示和的元素的个数，分子乘为了保证分母重复计算后取值范围在之间。

因此dice loss可以写为:

对于二分类问题，一般预测值分为以下几种:

• TP: true positive，真阳性，预测是阳性，预测对了，实际也是正例。

• TN: true negative，真阴性，预测是阴性，预测对了，实际也是负例。

• FP: false positive，假阳性，预测是阳性，预测错了，实际是负例。

• FN: false negative，假阴性，预测是阴性，预测错了，实际是正例。

这里dice coefficient可以写成如下形式:

而我们知道:

可见dice coefficient是等同「F1 score」，直观上dice coefficient是计算与的相似性，本质上则同时隐含precision和recall两个指标。可见dice loss是直接优化「F1 score」。

这里考虑通用的实现方式来表达，定义:

其中为为网络预测值，是经过sigmoid或softmax的值，取值在之间。为target值，取值非0即1。

dice loss 有以下几种形式:

「形式1」:

「形式2(原论文形式)」:

「形式3」:

为加平方的方式获取:

为一个极小的数，一般称为平滑系数，有两个作用:

• 防止分母预测为0。值得说明的是，一般分割网络输出经过sigmoid 或 softmax，是不存在输出为绝对0的情况。这里加平滑系数主要防止一些极端情况，输出位数太小而导致编译器丢失数位的情况。

• 平滑系数可以起到平滑loss和梯度的操作。

不同实现形式计算不同，但本质并无太大区别，本文主要讨论形式1。下面为pytorch的实现方式:

def dice_loss(target，predictive，ep=1e-8):    intersection = 2 * torch.sum(predictive * target) + ep    union = torch。sum(predictive) + torch.sum(target) + ep    loss = 1 - intersection / union    return loss

梯度分析

从dice loss的定义可以看出，dice loss 是一种「区域相关」的loss。意味着某像素点的loss以及梯度值不仅和该点的label以及预测值相关，和其他点的label以及预测值也相关，这点和ce (交叉熵cross entropy)  loss 不同。因此分析起来比较复杂，这里我们简化一下，首先从loss曲线和求导曲线对单点输出方式分析。然后对于多点输出的情况，利用模拟预测输出来分析其梯度。而多分类softmax是sigmoid的一种推广，本质一样，所以这里只考虑sigmoid输出的二分类问题，首先sigmoid函数定义如下:

求导:

单点输出的形式

单点输出的情况是网络输出的是一个数值而一个map，单点输出的dice loss公式如下:

绘制曲线图如下，其中蓝色的为ce loss，橙色的为dice loss。

• 当 时，在一个较大的范围内，loss的值都很大接近1。只有预测非常小，接近于0(和 量级相近)时loss才会变小，而这种情况出现的概率也较小。一般情况下，在正常范围内，预测不管为任何值，都无差别对待，loss 都统一非常大。
• 当时，在0左右较小的范围内，保持不错的特性。但随着远离0点，loss呈现饱和现象。

计算梯度:

绘图如下:

梯度正负符号代表梯度的方向，网络采用梯度下降法更新参数，当梯度为正时，参数更新变小，当梯度为负时参数更新变大。这里为了讨论正负样本的梯度关系，所以取了绝对值操作。

• 当 时，同样在的正常范围内，的梯度值接近0 。实际上，由于平滑系数的存在，该梯度不为0，而是一个非常小的值 。该值过于小，对网络的贡献也非常有限。
• 当时，在0点附近存在一个峰值，此时接近0.5。随着预测值越接近1或0，梯度越小，出现梯度饱和的现象。

一般神经网络训练之前都会采取权重初始化，不管是Xavier初始化还是Kaiming初始化(或者其他初始化的方法)， 输出是接近于0的。再回到上面的图，可见此时正样本()的监督是远远大于负样本()的监督，可以认为网络前期会重点挖掘正样本。而ce loss 是平等对待两种样本的。

多点情况分析

dice loss 是应用于语义分割而不是分类任务，并且是一个区域相关的loss，因此更适合针对多点的情况进行分析。由于多点输出的情况比较难用曲线呈现，这里使用模拟预测值的形式观察梯度的变化。

下图为原始图片和对应的label:

为了便于梯度可视化，这里对梯度求绝对值操作，因为我们关注的是梯度的大小而非方向。另外梯度值都乘以保证在容易辨认的范围。

首先定义如下热图，值越大，颜色越亮，反之亦然:

预测值变化(值，图上的数字为预测值区间):

dice loss 对应值的梯度:

ce loss 对应值的梯度:

可以看出:

• 一般情况下，dice loss 正样本的梯度大于背景样本的; 尤其是刚开始网络预测接近0.5的时候，这点和单点输出的现象一致。说明 dice loss 更具有指向性，更加偏向于正样本，保证有较低的FN。
• 负样本(背景区域)也会产生梯度。
• 极端情况下，网络预测接近0或1时，对应点梯度值极小，dice loss 存在梯度饱和现象。此时预测失败(FN，FP)的情况很难扭转回来。不过该情况出现的概率较低，因为网络初始化输出接近0.5，此时具有较大的梯度值。而网络通过梯度下降的方式更新参数，只会逐渐削弱预测失败的像素点。
• 对于ce loss，当前的点的梯度仅和当前预测值与label的距离相关，预测越接近label，梯度越小。当网络预测接近0或1时，梯度依然保持该特性。
• 对比发现， 训练前中期，dice loss下正样本的梯度值相对于ce loss，颜色更亮，值更大。说明dice loss 对挖掘正样本更加有优势。

「dice loss为何能够解决正负样本不平衡问题?」

因为dice loss是一个区域相关的loss。区域相关的意思就是，当前像素的loss不光和当前像素的预测值相关，和其他点的值也相关。dice loss的求交的形式可以理解为mask掩码操作，因此不管图片有多大，固定大小的正样本的区域计算的loss是一样的，对网络起到的监督贡献不会随着图片的大小而变化。从上图可视化也发现，训练更倾向于挖掘前景区域，正负样本不平衡的情况就是前景占比较小。而ce loss 会公平处理正负样本，当出现正样本占比较小时，就会被更多的负样本淹没。

「dice loss背景区域能否起到监督作用?」

可以的，但是会小于前景区域。和直观理解不同的是，随着训练的进行，背景区域也能产生较为可观的梯度。这点和单点的情况分析不同。这里求偏导，当时:

可以看出, 背景区域的梯度是存在的,只有预测值命中的区域极小时, 背景梯度才会很小.

「dice loss 为何训练会很不稳定?」

在使用dice loss时，一般正样本为小目标时会产生严重的震荡。因为在只有前景和背景的情况下，小目标一旦有部分像素预测错误，那么就会导致loss值大幅度的变动，从而导致梯度变化剧烈。可以假设极端情况，只有一个像素为正样本，如果该像素预测正确了，不管其他像素预测如何，loss 就接近0，预测错误了，loss 接近1。而对于ce loss，loss的值是总体求平均的，更多会依赖负样本的地方。

总结

dice loss 对正负样本严重不平衡的场景有着不错的性能，训练过程中更侧重对前景区域的挖掘。但训练loss容易不稳定，尤其是小目标的情况下。另外极端情况会导致梯度饱和现象。因此有一些改进操作，主要是结合ce loss等改进，比如:  dice+ce loss，dice + focal loss等，本文不再论述。