经过数十年的长期搜索，发现了超乎想象的曲面

大数据文摘授权转载自zzllrr小乐

作者：Leila Sloman

译者：zzllrr小乐

利用从图论中借来的思想，两位数学家证明了极其复杂的曲面很容易遍历。描述曲面和图的一种方法是询问某人随机游走完此对象需要多长时间

去年 7 月，来自杜伦大学的两位数学家Will Hide和Michael Magee证实了一系列备受追捧的曲面的存在：每一个都比上一个更复杂，最终错综连接在一起，几乎达到了曲面所可能的极限。

起初，这些曲面的存在并不明显。但自从 1980 年代首次出现它们的存在性问题以来，数学家们开始意识到这些曲面实际上可能很常见，即使非常难以确定——这是数学如何颠覆人类直觉的完美例子。这项新工作对寻求超越直觉以了解曲面可以表现的无数方式，向前迈出了一步。

“这是一部出色的数学作品，”新泽西州普林斯顿高等研究院的数学家Peter Sarnak说。

曲面包括各种二维对象——球体、甜甜圈或圆柱的外壳、莫比乌斯带。它们对数学和物理至关重要。但是尽管数学家与曲面的关系可以追溯到几个世纪前，但他们根本不了解这些物体。

简单的曲面不是问题。在这种情况下，简单意味着曲面有少量的孔洞，或低的“亏格”数（genus）。例如，球面没有孔，因此亏格为零；一个甜甜圈有一个亏格。

但是当亏格很高时，直觉会让我们失望。当密歇根大学的数学家Alex Wright试图想象一个高亏格曲面时，他最终得到了排列整齐的孔。“如果你想让我更有创意，我可以把它绕成一个有很多洞的圆圈。而且我很难想出任何与之根本不同的心智画面，”他说。但是在高亏格曲面中，孔洞以复杂的方式相互重叠，使它们难以掌握。Wright说，一个简单的近似值“在任何意义上都远非具有代表性”。

布里斯托大学的数学家Laura Monk说，这种难事是意料之中的。“你经常会做出糟糕的事情。然而，做出好的东西，就像我们通常期望的那样是真的，有点困难，”她说。

杜伦大学的数学家Michael Magee证明了一个可以追溯到 1984 年的关于复杂曲面的猜想。

这意味着希望真正了解曲面空间的数学家需要找到方法来发现他们甚至不知道存在的物体。

在他们 7 月份的论文中，Hide 和 Magee 就是这样做的，证实了数学家几十年来一直想知道的曲面的存在性。他们证明的猜想，以及围绕它的历史，从完全不同的数学领域中获得灵感：图论。

对数学家来说，图是由线（边）连接的点（结点）组成的网络。早在 1967 年，Andrey Kolmogorov 等数学家就在研究连接两个结点（有相应费用赋值）的网络。这导致了一个后来被称为扩展图（expander graph）的例子：一个保持低边数，同时保持结点之间的高连通性的例子。

扩展图已经成为数学和计算机科学的重要工具，包括在密码学等实际领域。就像精心设计的高速公路系统一样，这些图中可以轻松地从一个结点移动到另一个结点，而无需用边覆盖整个图。数学家喜欢通过规定每个结点只能有，比如说，引出最多三条边，来限制边的数量——就像你可能不希望有好几条高速公路在你的城镇纵横交错一样。

如果计算机随机选择每个结点的三条边通向的位置，你会发现——尤其是当图非常大时——这些随机图中的大多数都是出色的扩展图。但是，尽管宇宙中充满了扩展图，但人类却一次又一次地无法手工制作它们。

“如果你想建造一个，你不应该自己画它们，”耶路撒冷希伯来大学的数学家Shai Evra说。“我们的想象力无法理解什么是扩展图。”

扩展或连通性的概念可以通过多种方式来衡量。一种是通过一个接一个地剪断边，将一个图切成两个大块。如果你的图由两个结点簇组成，并且这些结点由一条边连接，则只需切割一条边即可将其分成两部分。图的连接越多，你必须切开的边就越多。

获得连通性的另一种方法是在图上从一个结点到另一个结点游走，在每一步随机选择一条边来行走。访问该图的所有邻近地带需要多长时间？在有两个团块的示例中，除非你碰巧跨过与另一半的单独连接，否则你将被限制在其中一个气泡中。但是，如果你有多种方式可以在图的不同区域之间穿梭，那么你将在很短的时间内完成整个过程。

扩展图：

有相对少的边（这里每个结点只有3条边），但有高的连通度。

连通性差的图：

从一个结点到另一个结点，只有很少的边

这些连通性度量可以通过称为光谱间隙（spectral gap）的数字来量化。当图完全断开时，谱间隙为零，例如，如果它由两组根本不相互连接的结点组成。随着图的连接越来越紧密，它的光谱间隙将趋于变大。

但是光谱间隙只能走这么高。事实上，扩展图的两个定义特征——边数少和高连通性——似乎相互矛盾。但在 1988 年，Gregory Margulis，以及Sarnak和两位合著者，独立描述了“最优扩展图”——光谱间隙与理论最大值一样高的图。“它们的存在令人震惊，”Sarnak说。

后来，数学家会证明大多数大图都接近这个最大值。但是使用最优扩展图和随机图的工作不仅仅是找到放置边的正确位置。它需要使用从数论和概率论中借来的奇怪而复杂的技术。

将这些结果应用于曲面仍然需要一种奇怪的方法。

在 1970 年代，在图论学家绘制扩展图的同时，瑞士几何学家Peter Buser也在有很多孔的曲面上玩过类似的想法。它们能否像扩展图一样很好地连接起来？

与图一样，你可以通过尝试将其一分为二来估计曲面的连通性，或者通过在曲面周围随机游走并查看你访问整个事物需要多长时间。“无可否认，一切都更加复杂，但直觉在各个方面都通过，”Wright说。

书架前的男人。丢给达勒姆大学的博士生William Hide的项目最终比预期的要重大得多。

1969 年，Jeff Cheeger 证明了曲面上的光谱间隙与将曲面切成两半的难易程度有关。Buser 后来加强了 Cheeger 的结果，使光谱间隙成为方便的连通性晴雨表。Buser 开始想知道随着曲面变得越来越复杂，光谱间隙会发生什么变化——具有许多孔的曲面是否仍然可以很好地连接。

起初，他猜测高亏格“双曲”曲面的光谱间隙必须缩小到接近零，这是一类以特定方式弯曲的重要曲面。但是当他了解到扩展图的新兴示例时，他改变了想法。“渐渐地，我了解到这不是真的，”Buser说，他现在是瑞士洛桑联邦理工学院的名誉教授。“我得知道：不，不，你的直觉是错误的。”

1974 年，Buser 的博士生导师发现了曲面上光谱间隙的上限：略高于 1/4，具体数字取决于曲面有多少孔。（孔越多，数量越少。）Buser 想更多地了解这个限制。特别是，是否有任何达到界限的真实曲面？是否存在与最优扩展图等价的几何图形？

1984 年，Buser证明，一些具有大量孔洞的双曲曲面的光谱间隙至少为 3/16。在那篇论文中，他指出：“据推测，3/16 可以被 1/4 代替。”

近四年过去了，数学家终于证明了这一说法是正确的。

Hide和Magee 的项目一开始并不是为了达到 1/4。当 Hide 在 2020 年秋季开始做 Magee 的博士生时，Magee 提出了他认为对于新博士生来说是一个易于驾驭的项目：Hide 将尝试重现 Magee 最近的一项成果，但将其应用于新的地方。

2020 年春天，索邦大学的Magee、 Frédéric Naud和特拉维夫大学的Doron Puder发现许多“紧”（compact）的曲面的相对光谱间隙接近 3/16。包括球面和甜甜圈在内的紧曲面具有两个重要特性。它们的大小是有限的——不像无限平面——而且它们没有边。Buser 对 1970 年代和 80 年代的研究，以及他对光谱间隙的思考，都集中在紧曲面上。Magee 和他的合著者梦想着将他们的结果从 3/16 一直提升到推测的 1/4。但道路似乎和 1984 年一样晦涩难懂。

Magee 让 Hide 想出一种曲面类型，它很像紧曲面，但有细长的长矛从其中伸出来。这些被称为尖点，它们在无穷远处变得如此薄，以至于它们的曲面面积仍然是有限的，即使它们是无限长的。这使得这些曲面“有限区域非紧”。

Hide 和 Magee 认为他们可以更新 Magee 早期工作的想法，其中包括随机生成曲面。这些随机策略已在数学中产生了巨大的影响，特别是在图论中。它们使数学家能够深入了解物体的典型属性。“概率可以让你扔掉不好的例子，”Monk说。如果你计算弹珠是圆形的概率并得到 99%，那么你刚刚获得了大量关于弹珠是什么样的信息，而不会因某些弹珠碎裂或变形的现实而分心。

但是这两位数学家努力使这个策略奏效。他们无法使用随机策略对他们感兴趣的对象发表任何实质性的意见。在 2021 年春天，他们放弃了——至少放弃了几个月。

6 月，Naud 提出了 Magee 认为他和 Hide 可以使用的东西：1988 年，Buser 和两位合著者想出了一种方法，可以将有限面积的曲面操纵成紧的东西。

突然，Hide 放弃的博士项目有了新的意义。“如果你不仅可以证明 3/16，还可以证明 1/4，这也将解决 [紧] 问题，”Magee 说。

Hide 和 Magee 重新焕发活力，并带着在无限面积案例中有效的想法，回到了他们最初的问题，更雄心勃勃的目标是找到一系列有限面积的非紧曲面，其光谱间隙接近不只是 3 /16，而是 1/4。

这一次，他们成功了，于 7 月 12 日在网上发布了他们的论文。

“我给我的博士生的这个东西真的很令人惊讶。我原先认为是一件简单的事情，结果证明它非常重要，“马吉说。“比我想的还要重要。”

尽管 Hide 和 Magee 解决了一个长期存在的谜团，但数学家们可以从这里探索许多方向。一种可能性是试图证明存在高亏格曲面，其光谱间隙实际上是最大值 1/4，而不是任意接近它。

此外，Hide和Magee 的技术仅适用于非常特定类型的曲面，这意味着他们计算的任何概率只会告诉你所有曲面的一小部分。

但是有一个模型，即 Weil-Petersson 模型，它适用于双曲面的整个空间——研究人员已经在这方面进行了研究，最著名的是Maryam Mirzakhani（伊朗数学家玛丽亚姆·米尔扎哈尼，第一位女性菲尔兹奖获得者，zzllrr小乐注）。Monk说，她在这个模型上的工作“是一场创造整个领域的彻底革命。” 然而，Weil-Petersson 方法仍然 停留在 3/16。

数学家说，无论未来如何，Hide-Magee 的结果都值得庆祝。“对于通常难以捉摸的物体，我们要求得到非常精确的结果。这非常困难，”卢森堡大学的数学家Hugo Parlier说。“我认为我们应该对我们能够说出如此精确的 [光谱间隙] 这一事实感到更加惊讶。”

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