新教材习题解析之python循环结构

说在前面

例4.（开放题）计算S = 1/4 + 1/16 + 1/64+ 1/256 + …的值。

（1）这道题目是求无穷级数的和，其各项的变化规律是什么？

（2）设计算法要遵循有穷性原则，在本题中不能让程序永远执行下去，你打算如何设计算法以避免出现死循环？

（3）请编写程序实现你设计的算法，并添加必要的注释。

（4）除了编程计算S的值，你是否还能想到其他的巧妙方法？

解析：（1）各项的变化规律是：第n项的值为4的n次幂的倒数。

（2）我们可以发现当n越大时，该项对S的影响越小。故可以通过设置n的值来控制循环的次数，或者比较相邻的两项的值，当它们的差值小于某个数时，说明S的精确度已经很高了，可以退出循环。

（3）算法1：我们可以发现，当n=30时，1/4^30的数量级为10^(-19)，这是一个非常小的数了，所以我们可以让循环执行30次，就可以得到S较为精确的值。参考代码如下：

s = 0

#计算前30项，即可获得较为精确的S值

for i in range(1, 31):

    s += 1 / 4 **i  #或s += 4 ** -i

print(s)

算法2：我们可以规定当相邻两项的差小于10^(-20)时退出循环，这样也能获得精确度已经很高的S值。参考代码如下：

s = 0

d = 10 ** -20 #最小差值

a, b = 1/4, 1/16#前两项

#当相邻两项的差小于d时退出循环

while a - b >= d:

    s += a

    a, b = b, b / 4

print(s)

         （4）除了编程计算S的值，我们还可以使用等比数列求和公式来计算S的值。因为等比数列的公比q=1/4，故当n值很大时q^n约等于0，故可以将求和公式简写为S=a1/(1-q)，代入数据得到S=1/3。

         还可以使用作图法来解决本题。如下图所示，画一个平分为4份的正方形，将正方形的右上角的1/4部分再次划分为4份，以此类推。可知每个黑色的小正方形面积刚好依次为1/4，1/16，1/64，…。而黑色部分面积刚好是总面积的1/3，故S=1/3。

拓展思考：

11.（开放题）“海龟作图”是一款神奇的软件，只需简单的几行代码，就可以画出各种复杂的图形，有时候只要更改一下画笔转折的角度，就能做出各种不同的漂亮图形。在下面的程序中，我们用变量angle存储画笔转折的角度，以下就是角度angle分别为90,120和144时作出的图形。

你知道如此美妙的图案是如何画出来的吗？

下面的代码能够实现上述功能，请仔细阅读代码，回答以下问题，并思考能否修改参数angle或者修改代码，画出更多漂亮的图形。

（1）变量w中存储的值用来表示什么？若将其初值设置成50，图像有何变化？

（2）内层循环变量j可以取到哪些值？若将语句for j in range(6)改成for j in range(10)会对程序产生什么影响？

（3）内层循环中语句w = w+ 2的作用是什么？若将其改成w = w + 10，图像会有何变化？

（4）修改参数angle的值分别为60，150和180，观察生成的图像，你能想象出angle=180时的图像是什么样子的吗？

      import turtle as tt

tt.TurtleScreen._RUNNING = True # 启动绘图，在IDE中运行加这句可避免报错

c = [(18,242,13), (255,0,0), (136,209,46), (132,104,22),(0,200,200), (243,236,86)]

tt.ht()

tt.speed(0)

tt.colormode(255)

w = 5  #①

angle = 144

tt.pensize(2)

for i in range(20): 

    for j in range(6):  #②

        tt.pencolor(c[j])#设置不同颜色

        tt.fd(w)

        tt.rt(angle)

        w = w + 2 #③

tt.done()

需要本文word版和拓展思考答案的，可以加入“Python算法之旅”知识星球参与讨论和下载文件，“Python算法之旅”知识星球汇集了数量众多的同好，更多有趣的话题在这里讨论，更多有用的资料在这里分享。

我们专注Python算法，感兴趣就一起来！

相关优秀文章：

阅读代码和写更好的代码

最有效的学习方式

函数与模块典型例题

字符串专题之中文大写金额数字转换工具