解密ln( )函数
日期 : 2021年03月19日
正文共 :1857字
感谢理解完指数函数(指数函数和自然对数),下一个目标就是对数函数。数学中对自然对数的定义是的逆运算,但有一个更形象的理解:自然对数刻画了复合利率的增长时间
假设你的投资有100%的回报率,并保持复利。如果你想获得10倍的增长,那么你只需要等待年。接下来我将给大家解释为什么是这个数字。
e 是单位时间的增长的总量倍数 自然对数(ln) 是在复利增长的条件下,增长到某一数量级所需要的时间
在增长了x个单位时间后,我能得到多少? 例如:在增长了3个单位时间后,我就得到倍的东西。 所以e是一个单位因子,他向我们展示了单位时间内的复合增长率。
例如:
经过3个单位长度的时间,我们得到了20.08倍的东西。
如果我们要得到20.08倍的东西,大约需要3个单位时间。
那么小数值会是怎么样的呢?我们需要花多少时间来增长到0.5倍呢?假设我们的复合利率仍为100%,那么我们知道ln(2)就是得到两倍东西所需要的时间。”增长到0.5倍“也就是说:倒退到现有金钱的一半所需要的时间,即:
我需要花多少时间来增长到40倍呢?综上所述,问题转化成符号式即为ln(40)。但是,我们换种思考方式,我们可以把40倍的增长看作先从1增长到4,即:先翻4倍,然后再从4增长到40,即:再翻10倍。即:
显然,这个方程意味着在100%的复利中,3.4年可以增长30倍。上次讲到,其实这个3.4是由时间乘以利率获得的,即:
事实上,我只需要修改“时间”和“利率”就行了。例如我们要在5%的复利下增长30倍,即:
显然,我们以100%的增长率增长30倍需要3.4年,如果增长率大一倍,则时间就会短一半,如果增长率变小了,则时间也会变长。
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