解密ln( )函数

数学算法俱乐部

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2021-03-20 09:39

数学算法俱乐部

日期 : 2021年03月19日       

正文共 :1857

来源 :CSDN


感谢理解完指数函数(指数函数和自然对数),下一个目标就是对数函数。数学中对自然对数的定义是的逆运算,但有一个更形象的理解:自然对数刻画了复合利率的增长时间


假设你的投资有100%的回报率,并保持复利。如果你想获得10倍的增长,那么你只需要等待年。接下来我将给大家解释为什么是这个数字。


e 的指数函数和自然对数互为逆运算:
e 是单位时间的增长的总量倍数
自然对数(ln) 是在复利增长的条件下,增长到某一数量级所需要的时间

可别被费解的名词解释吓到!深吸一口气,跟随笔者一道,让我们进入e的内部一探究竟!

e--关于增长

正如我们上次所说的那样,描述了复合增长率乘以时间的情形:连续3年保持100%的增长,和在1年里有300%的增长,最终效果是一样的。

我们可以使用任意的复合利率和时间,将其转化为利率为100%时所需要的时间。这样我们就只需要考虑时间分量。

例如:
在50%的增长率下增长4年,可以转化为在100%的增长率下增长2年。即:
所以,含义是:
在增长了x个单位时间后,我能得到多少?

例如:在增长了3个单位时间后,我就得到倍的东西。
所以e是一个单位因子,他向我们展示了单位时间内的复合增长率。

ln--关于时间

自然对数是的逆运算,那么逆运算是什么意思呢?

的x是代表时间,而计算结果是增长倍数。

lnx的x是代表增长倍数,而计算结果是时间。

例如:

假设增长率为100%,我们有:

经过3个单位长度的时间,我们得到了20.08倍的东西。

如果我们要得到20.08倍的东西,大约需要3个单位时间。


自然对数并不“自然”

什么是ln(1)呢?我需要多少天的复利增长才能获得原总数的1倍。答案很显然:0。

那么小数值会是怎么样的呢?我们需要花多少时间来增长到0.5倍呢?假设我们的复合利率仍为100%,那么我们知道ln(2)就是得到两倍东西所需要的时间。”增长到0.5倍“也就是说:倒退到现有金钱的一半所需要的时间,即:

其中,负数的意思就是时间倒退,即我们需要倒退约为0.693个单位时间就会回到现在金钱的一半。一般来说,我们可以求该小数或者分数的倒数来求得倒退所需的时间。

再进行一次思维实验:假设你有一笔金钱,它如何从1增长到-3倍呢?

显然这是不可能的,我们拥有的金钱数只能大于或等于0。所以对于自然对数来说,负数是没有定义的。

有趣的对数乘法

我需要花多少时间来增长到40倍呢?综上所述,问题转化成符号式即为ln(40)。但是,我们换种思考方式,我们可以把40倍的增长看作先从1增长到4,即:先翻4倍,然后再从4增长到40,即:再翻10倍。即:

任何数字都可以这样拆开,如:要增长到原来的20倍,那么,就可以看成先增长2倍再增长10倍,或者先找找5倍再增长4倍等等。

不失一般性:

那么对于分数来讲是如何的呢?例如ln(3/5),根据上述知识,我们很快能理解,其意思是先增长到原来的5倍,再退回现在的1/3。又知道ln(1/3)是倒退了ln(3)的时间,即:-ln(3)。

所以原式可写成如下:

不失一般性:


我们可以看到,看似抽象的数学符号,背后都蕴含着实际的意义

自然对数在复利中的使用

到这里你已经基本明白了自然对数,但是你仍然会问,上述问题都是假设复合利率是100%,但是更多的时候我们的复合增长率不是100%,而是其他数值,如5%,那么怎么办呢?

Ok,没问题,我们的ln( )实际上是由利率和时间复合而成的,他就是上篇文章我们说到中的x。只是我们假设复利为100%使得我们的问题更容易理解,但是我们仍然可以使用任何的利率。

假设我们需要在复利为100%的情况下得到30倍的增长,即:

我也可以写成:

显然,这个方程意味着在100%的复利中,3.4年可以增长30倍。上次讲到,其实这个3.4是由时间乘以利率获得的,即:


事实上,我只需要修改“时间”和“利率”就行了。例如我们要在5%的复利下增长30倍,即:


显然,我们以100%的增长率增长30倍需要3.4年,如果增长率大一倍,则时间就会短一半,如果增长率变小了,则时间也会变长。


有趣!他们的结果都是相同的对么?自然对数可以使用任何的利率和时间,你可以修改任何你想修改的变量。

关于ln(e)

最后给大家一个小小问题看看大家理解了没有呢?即ln(e)是什么意思呢?

数学家可能会回答:因为自然对数是e的逆,所以ln(e)=1

看了这篇文章的你可能会回答:ln(e)是获得e倍所需要的时间,而e是单位时间的增长倍数,所以ln(e)=1


— THE END —


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