算法复杂度的分析方法及其运用

        算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多人复习起来无从下手，下面我们就这个问题给各位考生进行分析。

首先了解一下几个概念。

一个是时间复杂度，

一个是渐近时间复杂度。

前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时 间复杂度。以保证算法的运行时 间不会比它更长。

常见的时 间复杂度，按数量级递增排列依次为：

•     常数阶O(1)

•     对数阶O(log2n)

•     线性阶O(n)

•     线性对数阶O(nlog2n)

•     平方阶O(n^2)

•     立方阶O(n^3)

•     k次方阶O(n^k)

•     指数阶O(2^n)

下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。

1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3 n^2 1000 , g(n)=25n^3 5000n^2 , h(n)=n^1.5 5000nlgn

请判断下列关系是否成立：
（1） f(n)=O(g(n))
（2） g(n)=O(f(n))
（3） h(n)=O(n^1.5)
（4） h(n)=O(nlgn)

这里我们复习一下渐近时 间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。

◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。
◆ （2）成立。与上同理。
◆ （3）成立。与上同理。
◆ （4）不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。

2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时 间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0
while(i<n)
{ k=k 10*i;i ;
}
解答：T(n)=n-1， T(n)=O(n)， 这个函数是按线性阶递增的。

(2) x=n; // n>1
while (x>=(y 1)*(y 1))
y ;
解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)， 最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。

(3) x=91; y=100;
while(y>0)
if(x>100)
{x=x-10;y--;}
else x ;
解答：T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。