里程碑式的数学证明，攻破著名Erdős猜想中关键障碍-技术圈

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来源：wired

编译：Canary、Andy

最近，两名数学家解决了一个关于整数相加性质最著名猜想中的第一部分。该猜想由匈牙利传奇数学家Paul Erdős于60多年前提出，一个无限整数序列在何时一定会包含至少有三个等差数的模式，如26、29和32。

Erdős在他一生中提出过数以千计的问题，但哪个数列包含等间距数（数学家称其为算术级数/等差数列）一直以来是他最喜欢的问题之一。“我想许多人都认为这是Erdős提出的头号难题。”剑桥大学曾在1998年获菲尔兹奖（数学界诺贝尔奖）的Timothy Gowers说，他也花了很多时间去尝试解决该问题。他说：“几乎任何有点想法的加法结合论者都曾尝试解决过它。”他同时指出了该猜想所属的数学分支。

通常，密集数列比稀疏数列包含等差数列的可能性更高，因此Erdős提出一个简单的密度测试：把列表中数字的倒数相加即可。如果数字够多，使得相加和无穷大，那么Erdős就猜想数列中会包含无限多个有限长度的等差数列——三元，四元或更多。

近来，一篇7月7日发布在网上论文中，剑桥大学的Thomas Bloom和斯德哥尔摩大学的Olof Sisask已在5、7和9这样等距三元组上证明了这该猜想。他们证明，每当一个数列的倒数和为无穷大时，它一定包含无限个等差三元组。

剑桥大学的Thomas Bloom，照片由本人提供。

加州理工学院的Nets Katz说：“这个结果可以说是多年来的一个里程碑，是该领域的一件大事。”

其中一个倒数和为无穷大的集合就是质数（只被1和自己整除的数）集合。20世纪30年代，Johannes van der Corput用质数的特殊结构证明了它们确实包含无限个等差的三元组（如17,23和29）。

但Bloom和Sisask的新发现意味着，即使不用深入了解质数的特殊结构都能证明它们包含无限个三元组。你只用知道质数非常多，并且足以使其倒数和无穷大就行——而这是数学家们几个世纪前就知道的事实。

牛津大学的Tom Sanders在邮件中写道：“Thomas和Olof的结果告诉我们，即使质数结构与实际的完全不同，但只要有尽量多的质数，那就能确保等差数列的无限性。”

这篇新论文有77页，数学家们需要花时间仔细审阅。但大多数人乐观认为该证明是正确的。Katz说：“它看起来确实是正确证明该有的样子。”Katz的一些早期工作为这一新结果奠定了很重要的前提基础。

Bloom 和Sisask的定理表明，只要数列足够密集，就一定会出现特定模式。这一发现遵循了牛津大学Sarah Peluse所称的数学基本口号（最早由Theodore Motzkin提出）：“完全无序是不可能的。”

变相密度

如果让数列足够稀疏，就能轻松创建一个没有等差数列的无限列表。例如，序列1、10、100、1,000、10,000、……（它们的倒数和为有限小数1.11111……）。这些数字极度稀疏分散，你永远找不到三个等距的数字。

接着，你可能会想，是否有相当密集而没有等差数列的数集。例如，你可以沿着数字走，保留所有没达成等差数列的数字。这将组成序列1，2，4，5，10，11，13，14，……，这时你会发现序列虽然一开始看起来非常密集。但一旦到更大数时，它就会变得越来越稀疏——比如说，当达到20位数时，所有数中只有0.000009%的数会在列表中。1946年，Felix Behrend提出了更密集的例子，但即使是这样的示例，也会很快变得稀疏，多达20位的Behrend集所含数字只有约为所有数的0.001%。

而另一方面，如果集合包含几乎所有整数，那它肯定会包含等差数列。而在这两个极端间，有一个巨大的、目前基本上是未知的中间地带。数学家们想知道，在确保集合中仍有等差数列情况下，到底能让集合稀疏到什么程度？

斯德哥尔摩大学的Olof Sisask，照片由本人提供。

Erdős（据传可能是和匈牙利数学家Pál Turán合作）提供了一个可能答案。他关于倒数和的条件其实算是种变相关于密度的描述：事实证明，最大到数字N的列表密度至少大约比N的位数大1。换句话说，沿着数字增长，列表可以变得越来越稀疏，但这样会增长非常慢：5位数时，列表的密度至少约为1/5；20位数字时，列表密度至少约为1/20；以此类推。Erdős猜想，假设满足这个密度条件，列表应该包含无限多个各种长度的等差数列。

1953年，Klaus Roth开始了证明Erdős猜想的道路。在助他五年后获得费尔兹奖的工作中，他创建了一个密度函数能保证间距相等的三元组，而密度不像Erdő提出的那样低，但沿着数字增加时，密度也会趋近零。Roth的定理意味着，一个数列的密度最终会降到1%以下，然后到0.1%以下，接着0.01%以下等等，只要下滑到这些阈值以下的速度足够慢，这样的数列肯定包含等差数列。

Roth的方法基于这样一个事实，即大多符合他所选密度的列表都“想要”等差数列。它们有足够多的数字对，这些对的中点有一些也几乎肯定在这个列表里，从而就创建了等差三元组。棘手部分在于如何从“大多”数列到“全部”数列，即便是那些结构特殊以避免等差数列的列表也不例外。

如果给出一个这样高度结构化的列表，Roth会用傅里叶变换，通过映射其“频谱”来提炼结构。这样就能检测出什么样的重复模式表现最强烈——这和X射线结晶学和无线电光谱学等技术背后的数学原理是一样的。

有些频率会比其他的表现得更强烈，这让该模式变得突出，例如，一个强频率或许表明列表中包含奇数多于偶数。如果是这样，你可以只关注奇数，并得到一个比刚开始的集合（相对于所有数字）更密集的集合（相对于所有奇数）。Roth证明，经过有限次的类似精炼后，就能获得一个非常密集而有等差数列的集合。

斯坦福大学的Jacob Fox说，Roth的方法在过去半个世纪推动了分析数论的许多发展，“而且都是非常有影响力的发展。”

游戏，神奇形色牌，配对

Roth的论点仅适用于开始时密度很大的集合，否则反复精炼会让集合消失。其他数学家逐渐找到能从Roth方法里榨取更多价值的方法，但还是无法完全降低到Erdős猜想的密度。Fox说：“这看起来是一个很难克服的障碍。”

接着在2011年，Katz和Michael Bateman想出了如何在一个更简单的设定中克服这一障碍：利用纸牌游戏《神奇形色牌（Set）》，这个游戏需要搜索匹配三元组的卡片。这里可以将匹配三元组视作等差数列，就像整数列一样，你要思考要放下多少卡才能确保找到至少一个三元组。

这个问题（不仅是神奇形色牌的标准版本，还有牌更多的更大版本）是关于整数对应问题的天然玩具模型。因此，数学家们希望Bateman和Katz的突破能为Erdős猜想的证明提供一条途径，尤其是与其它最新进展相结合。Bateman和Katz的论文发表后不久，Gowers召集了一个博学者项目（Polymath project，即大规模的在线协作）来尝试进行结合。

但这个项目很快就停止了。“里面涉及的技术争议太高了。”Gowers说：“这更像是一个适合一两个人长期苦干的项目。”

幸运的是，刚好当时就有两位数学家正准备这样做。Bloom 和 Sisask当时已经开始思考Erdős猜想问题了，一开始是各自思考，两人都着迷于其所涉及技术之美。“这是我最先想到的研究问题之一。” Sisask说，他和Bloom一样，现在35岁左右。

Bloom和 Sisask于2014年合作，到2016年，他们认为已经找到了解决方案。Bloom甚至在一次演讲中宣布了结果，但后来才意识到其中一些捷径方法是站不住脚的。两人之后继续研究，深入到Bateman和 Katz方法的内部原理，最终弄清楚了什么样的新办法能让他们将这一结果从神奇形色牌游戏转移到现实整数。

这篇新论文似乎所有内容都是正确的。Katz说：“我不相信他们之前的一些声明，但这一次我相信。”

Fox 说，Bloom 和Sisask的工作是“一项伟大的成就”。他和其他数学家渴望探索这篇新论文的技术是否会应用到其他问题上。“我认为这方法确实会有最大影响。”他接着说。

但对于完整的Erdős猜想，还远远没有证明完毕。Bloom和 Sisask只证明了等差三元组的猜想，而不是更长等差数列的猜想，后者目前似乎还无法完成。

而且即便对于这个Bloom 和 Sisask已解决的三元组猜想，许多数学家仍将Erdős猜想不看做是真正的目标。要证明Erdős密度可保证等距三元组是困难的，数学家怀疑这个保证失效的真实密度可能要低得多，只比Behrend构建的无等差数列的集合略高一点。

“我们并没有完全解决这个问题，”Bloom说，“我们只是进一步阐明了这个问题。”

Bloom 和 Sisask可能已将现在的方法推到了他们能做到的极致。“需要真正的新工具来完成剩下的工作，从根本上做出改善，”Fox说，“但，这可能还不是终点。”