20多张图和动画:一举拿下MySQL索引底层B+树-技术圈

前言

当我们发现SQL执行很慢的时候，自然而然想到的就是加索引。对于范围查询，索引的底层结构就是B+树。今天我们一起来学习一下B+树哈~

树简介、树种类
B-树、B+树简介
B+树插入
B+树查找
B+树删除
B+树经典面试题

树的简介

树跟数组、链表、堆栈一样，是一种数据结构。它由有限个节点，组成具有层次关系的集合。因为它看起来像一棵树，所以得其名。一颗普通的树如下:

树是包含n（n为整数，大于0）个结点， n-1条边的有穷集，它有以下特点：

❝
每个结点或者无子结点或者只有有限个子结点；
有一个特殊的结点,它没有父结点，称为根结点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
树里面没有环路
❞

一些有关于树的概念：

❝
结点的度：一个结点含有的子结点个数称为该结点的度；
树的度：一棵树中，最大结点的度称为树的度；
父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
深度：对于任意结点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根结点的深度为0；
高度：对于任意结点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
❞

树的种类

按照有序性，可以分为有序树和无序树：

❝
无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系
有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系
❞

按照节点包含子树个数，可以分为B树和二叉树，二叉树可以分为以下几种：

❝
二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
二叉查找树：首先它是一颗二叉树，若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；左、右子树也分别为二叉排序树；
满二叉树：叶节点除外的所有节点均含有两个子树的树被称为满二叉树；
完全二叉树：如果一颗二叉树除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布
霍夫曼树：带权路径最短的二叉树。
红黑树：红黑树是一颗特殊的二叉查找树，每个节点都是黑色或者红色，根节点、叶子节点是黑色。如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。
平衡二叉树（AVL）：一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树
❞

B-树、B+树简介

B-树简介

B-树，也称为B树，是一种平衡的多叉树（可以对比一下平衡二叉查找树），它比较适用于对外查找。看下这几个概念哈：

❝
阶数：一个节点最多有多少个孩子节点。（一般用字母m表示）
关键字：节点上的数值就是关键字
度：一个节点拥有的子节点的数量。
❞

一颗m阶的B-树，有以下特征：

❝
根结点至少有两个子女；
每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：⌈m/2⌉ - 1 <= j <= m - 1.(⌈⌉表示向上取整)
有k个关键字(关键字按递增次序排列)的非叶结点恰好有k+1个孩子。
所有的叶子结点都位于同一层。
❞

一棵简单的B-树如下：

B+ 树简介

B+树是B-树的变体，也是一颗多路搜索树。一棵m阶的B+树主要有这些特点：

❝
每个结点至多有m个子女;
非根节点关键值个数范围：[m/2](注意是这个哈，后面图例写错了) <= k <= m-1
相邻叶子节点是通过指针连起来的，并且是关键字大小排序的。
❞

一颗3阶的B+树如下：

B+树和B-树的主要区别如下：

B-树内部节点是保存数据的;而B+树内部节点是不保存数据的，只作索引作用，它的叶子节点才保存数据。
B+树相邻的叶子节点之间是通过链表指针连起来的，B-树却不是。
查找过程中，B-树在找到具体的数值以后就结束，而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束
B-树中任何一个关键字出现且只出现在一个结点中，而B+树可以出现多次。

B+树的插入

B+树插入要记住这几个步骤：

1.B+树插入都是在叶子结点进行的，就是插入前，需要先找到要插入的叶子结点。
2.如果被插入关键字的叶子节点，当前含有的关键字数量是小于阶数m，则直接插入。
3.如果插入关键字后，叶子节点当前含有的关键字数目等于阶数m，则插，该节点开始「分裂」为两个新的节点，一个节点包含⌊m/2⌋ 个关键字，另外一个关键字包含⌈m/2⌉个关键值。（⌊m/2⌋表示向下取整，⌈m/2⌉表示向上取整，如⌈3/2⌉=2）。
4.分裂后，需要将第⌈m/2⌉的关键字上移到父结点。如果这时候父结点中包含的关键字个数小于m，则插入操作完成。
5.分裂后，需要将⌈m/2⌉的关键字上移到父结点。如果父结点中包含的关键字个数等于m，则继续分裂父结点。

以一颗4阶的B+树为例子吧，4阶的话，关键值最多3（m-1）个。假设插入以下数据43，48，36，32,37,49,28.

在空树中插入43

这时候根结点就一个关键值，此时它是根结点也是叶子结点。

依次插入48，36

这时候跟节点拥有3个关键字，已经满了

继续插入 32，发现当前节点关键字已经不小于阶数4了，于是分裂第⌈4/2⌉=2（下标0,1,2）个，也即43上移到父节点。

继续插入37，49，前节点关键字都是还没满的，直接插入，如下：

最后插入28，发现当前节点关键字也是不小于阶数4了，于是分裂，于是分裂，第 ⌈4/2⌉=2个，也就是36上移到父节点，因父子节点只有2个关键值，还是小于4的，所以不用继续分裂，插入完成

B+树的查找

因为B+树的数据都是在叶子节点上的，内部节点只是指针索引的作用，因此，查找过程需要搜索到叶子节点上。还是以这颗B+树为例吧：

B+ 树单值查询

假设我们要查的值为32.

第一次磁盘 I/O，查找磁盘块1，即根节点（36,43）,因为32小于36，因此访问根节点的左边第一个孩子节点

第二次磁盘 I/O, 查找磁盘块2，即根节点的第一个孩子节点，获得区间(28,32),遍历即可得32.

动态图如下：

B+ 树范围查询

假设我们要查找区间 [32,40]区间的值.

第一步先访问根节点，发现区间的左端点32小于36,则访问根节点的第一个左子树(28,32);

第二步访问节点（28,32），找到32，于是开始遍历链表，把[32,40]区间值找出来，这也是B+树比B-树高效的地方。

B+树的删除

B+树删除关键字，分这几种情况

找到包含关键值的结点，如果关键字个数大于⌈m/2⌉-1，直接删除即可；
找到包含关键值的结点,如果关键字个数大于⌈m/2⌉-1，并且关键值是当前节点的最大（小）值，并且该关键值存在父子节点中，那么删除该关键字，同时需要相应调整父节点的值。
找到包含关键值的结点，如果删除该关键字后，关键字个数小于⌈m/2⌉，并且其兄弟结点有多余的关键字，则从其兄弟结点借用关键字
找到包含关键值的结点，如果删除该关键字后，关键字个数小于⌈m/2⌉，并且其兄弟结点没有多余的关键字，则与兄弟结点合并。