线性代数一百问之二：伴随矩阵这么巧妙，怎么来的？-技术圈

伴随矩阵（Adjoint matrix），这个名词是 Maxime Bôcher 在 1907 年出版的《Introduction to Higher Algebra》中首次引入的。

也就是说并不像是谁直接提出这个概念的，那它大概怎么来的呢？根据一些历史资料及本人大胆推测，大致是由行列式，到拉普拉斯展开式，再到伴随矩阵，这么个路径。但这期间可能还涉及高斯的工作，这部分内容放在本文后面部分。

1Laplace 展开式

行列式的英文单词是 determinant，是决定因素或者决定性的的意思。那它到底是要决定什么呢？

行列式最初定义为线性方程组的一个属性，它决定了该线性方程组是否具有唯一解，即如果行列式不等于零，则方程组有唯一解。如果行列式等于零，则方程组有无穷多组解或者无解。

后来随着矩阵概念的诞生，行列式能够用来表征矩阵以及由矩阵表示的线性映射的一些属性。特别地，当且仅当矩阵可逆且矩阵表示的线性映射是同构时，行列式是非零的。

不过本文主要看行列式的定义与计算。

+行列式的定义

对于矩阵，它的行列式定义为，

\operatorname{det}({A})=\sum_{p} \sigma(p) a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}

其中，总和取于的个置换，而是置换的符号（奇偶性）。

我们都知道，当矩阵阶数为和时可以按如下方式展开来计算行列式。

+n = 2 时

\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}\right] \\[2em] \operatorname{det}[{A}]=+A_{11} \cdot \operatorname{det}\left[A_{22}\right]-A_{12} \cdot \operatorname{det}\left[A_{21}\right]=A_{11} A_{22}-A_{21} A_{21} \end{gathered}

+n = 3 时

A=\left[\begin{array}{lll} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}\right]

按第行展开，

\begin{aligned} \operatorname{det}[A] &=+A_{11} \cdot \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{array}\right]-A_{12} \cdot \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{array}\right]+A_{13} \cdot \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{array}\right] \\[1.5em] &=+A_{11}\left(A_{22} A_{33}-A_{23} A_{32}\right)-A_{12}\left(A_{21} A_{33}-A_{23} A_{31}\right)+A_{13}\left(A_{21} A_{32}-A_{22} A_{31}\right) \\[2em] &=+A_{11} A_{22} A_{33}+A_{12} A_{23} A_{31}+A_{13} A_{21} A_{32}-A_{11} A_{23} A_{32}-A_{12} A_{21} A_{33}-A_{13} A_{22} A_{31} \end{aligned}

此处可以插入一个图，更形象地展示上述展开过程。

接下来就是开启找规律的模式，看看当矩阵的阶数升高后有没有类似的计算套路。

当矩阵的阶数增加上去会怎么样呢？答案是仍然有类似的结论，那就是 Laplace 展示式。

+Laplace 展开式

上面的试探可以发现，阶行列式的计算中可以用到阶行列式，于是很自然地想到，可以递归式计算高阶行列式。为了把高阶行列式展开成低阶行列式来计算，有必要将其中涉及的计算模式理一理清楚，进而引入了余子式和代数余子式这样的概念。而 Laplace 展开式在这些基础上顺势而出了，具体形式如下

\begin{cases}\sum_{j=1}^{n} A_{i j} C_{k j}=\operatorname{det}(A) & i=k \\[1.618em] \sum_{j=1}^{n} A_{i j} C_{k j}=0 & i \neq k \end{cases}

其中是指代数余子式，即

C_{i j} = (-1)^{i+j} M_{i j}

而是元素的余子式。

Laplace 展开式里的第一条是可以拿来递归式求解行列式（只是效率并不高）。值得注意的是第二条，它的意思就是只要按错误的行或列（）展开就会得到，这一点很容易验证，只要用第行代替第行，而有相同行的行列式自然就是。

这两条要放在一起观察，从形式上看，像不像两个矩阵相乘的姿势？即，而它们的积除对角线元素外全部是，而且，对角线上的元素竟然全部相等。

矩阵的对角化一直是数学家的追求，现在得到的不仅是对角化，甚至是单位（矩阵）化了，哪还有不欢喜的理由？

总之，我们得到了下面这个式子，

AC^{\top} = \operatorname{det}(A)I

的转置矩阵就称为的伴随矩阵，从形式上看伴随矩阵就很有逆矩阵的样子了，当可逆时就可以用来计算它的逆矩阵。于是，便得到下面的命题。

命题令为的矩阵，是它的伴随（adjoint）矩阵，则有，

A\;\!\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)\;\! A=\operatorname{det}(A)\;\! I

其中，是阶单位矩阵。

我们来看一下当时的情况，

\begin{aligned} &\operatorname{adj}(A)=C^{\top}=\\[1em] &\left[\begin{array}{l} +\left|\begin{array}{ll} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{array}\right|\;-\left|\begin{array}{ll} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{array}\right|\;+\left|\begin{array}{ll} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{array}\right| \\[1em] -\left|\begin{array}{ll} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{array}\right|\;+\left|\begin{array}{ll} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{array}\right|\;-\left|\begin{array}{ll} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{array}\right| \\[1em] +\left|\begin{array}{ll} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{array}\right|\;-\left|\begin{array}{ll} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{array}\right|\;+\left|\begin{array}{ll} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}\right|\; \end{array}\right] \end{aligned}

这里为什么不直接除以呢，让它成为逆矩阵不是更好吗？这样做的一个原因应该是可以统一处理，不管矩阵奇异还是非奇异。

而当矩阵可逆时，这提供了一种逆矩阵的表示以及计算方案，估计是为了叫起来方便一些，于是给它一个名分。看它俩左右相伴，就叫做伴随矩阵呗。

值得注意的是，这里的伴随与伴随算子中的伴随没有关系，不用去强行将两者联系起来。

这个伴随矩阵听着名字挺香的，构思也挺巧妙的，只是用处大吗？

矩阵的一个重要用处是拿来表示线性变换，比如向量在矩阵的作用下可以变成另一个向量，那么有时候就要求能够变回来是吧。

因此，矩阵有必要和它的另一半成双成对出现，而伴随矩阵就是差不多充当这么个角色，它与逆矩阵也只差一个因子。

如果矩阵不可逆，即行列式为，此时我们有，

A\;\!\operatorname{adj}(A)=0

此时伴随矩阵与齐次线性方程组的解有关。大家不妨考虑下当的秩为时的情况。

好了，接下来让我们想一想，伴随矩阵还有其他的用途吗？

2二次型的伴随式

我们直入主题，现有如下二次型，

\begin{aligned} \sum_\nolimits{1}^{n} A_{i j} x_{i} x_{j} \end{aligned}

由它可以衍生出另一个二次型，

\begin{aligned} &{\sum}_{1}^{n} C_{i j} u_{i} u_{j} \equiv-\left|\begin{array}{llll} A_{11} & \cdots & A_{1 n} & u_{1} \\ & \cdot & \cdot & \\ & \cdot & \cdot & \\ A_{n 1} & \cdots & A_{n n} & u_{n} \\ \;u_{1} & \cdots & u_{n} & 0 \end{array}\right| \end{aligned}

这是变元的二次型，其系数矩阵正是矩阵的伴随矩阵。第二个式子称为第一个式子的伴随二次型。

仔细看上面这个行列式，它将行列式、二次型以及伴随矩阵等融合在一起，十分巧妙。

这个事情似乎跟高斯的工作有关，高斯在研究如下表示的三元二次型时，

ax^2+a'x'^2+a''x''^2+2bx'x''+2b'xx''+2b''xx'

引入了它的伴随式子，

Ax^2+A'x'^2+A''x''^2+2Bx'x''+2B'xx''+2B''xx'

其中，

\begin{array}{lll} A=bb-a'a'',& A'=b'b'-aa'',& A''=b''b''-aa' \\[1em] B=ab-b'b'',& B'=a'b'-bb'',& B''=a''b''-bb' \end{array}

高斯在他的《算术探究》里引入上述概念，但那会儿还没矩阵，转化为矩阵的形式就对应如下两个矩阵。

\left[\begin{array}{lll} a & b'' & b' \\ b'' & a' & b \\ b' & b & a'' \\ \end{array}\right]

和

\left[\begin{array}{lll} A & B'' & B' \\ B'' & A' & B \\ B' & B & A'' \\ \end{array}\right]

这应该是二次型伴随式的原型，也可能是伴随矩阵这个名词的来源之一。

3附录

+命题的证明

可以从元素级别暴力证明。首先如下定义一个矩阵

B=A\;\!\operatorname{adj}(A)

左右两边矩阵的相应元素相等，得

\begin{aligned} & B_{i j} \\[0.6em] =& \sum_{k=1}^{n} A_{i k}[\operatorname{adj}(A)]_{k j} \\[0.6em] =& \sum_{k=1}^{n} A_{i k} C_{j k} \end{aligned}

当时，由的 Laplace 展开式可得等于。当时，相当于展开式中沿着错误的行展开了，因此等于。由此可得

B=\left[\begin{array}{cccc} \operatorname{det}(A) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \operatorname{det}(A) & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \cdots & & \operatorname{det}(A) \end{array}\right]=\operatorname{det}(A)\;\! I

以及，

D =\operatorname{adj}(A) \;\!A

比较两边元素，得

\begin{aligned} & D_{i j} \\[0.6em] =& \sum_{k=1}^{n}[\operatorname{adj}(A)]_{i k} \;\!A_{k j} \\[0.6em] =& \sum_{k=1}^{n} A_{k j} C_{k i} \end{aligned}

这是按列展开，跟上面类似，得

D=\operatorname{det}(A) \;\!I

因此，如果是可逆矩阵，则它的逆矩阵为，

A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \;\!\operatorname{adj}(A)

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