美团面试题(整数拆分)
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2020-03-13 23:25
来源：小浩算法
作者：程序员浩哥
01PART整数拆分
这两天越来越多的读者私信小浩，说觉得只看题的话，不是很系统，想让我系统的讲一讲各类数据结构。对于这个问题，我统一回复一下，首先后面肯定是有系统的讲解各类数据结构的打算的，这个目前正在筹划中，所以大家请放心！另外对于看题，如果担心缺乏基础知识看不懂的朋友们，大家请一万个放心。老读者都知道，我讲题，一般都是会把这个题涉及到的基础知识都给你过一遍的。当然后面我也会用系列篇，把这些题目再串起来，所以大家还是耐心点的去看。记住，干就对了！
343题：给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
（瞪一瞪就全部掌握）
02PART题目分析
这个题理解了题意的话，其实还是比较简单的，一起看下。
要对一个整数进行拆分，并且要使这些拆分完后的因子的乘积最大。我们可以先尝试拆分几个数值，测试一下。
通过观察，首先肯定可以明确，2和3是没办法进行拆分的最小因子。同时，我们好像能看出来：
只要把n尽可能的拆分成包含3的组合，就可以得到最大值。
如果没办法拆成3的组合，就退一步拆成2的组合。
对于3和2，没办法再进行拆分。
根据分析，我们尝试使用贪心进行求解。因为一个数（假设为n）除以另一个数，总是包括整数部分（x）和余数部分（y）。那刚才也得到了，最优因子是3，所以我们需要让 n/3，这样的话，余数可能是1,2 两种可能性。
如果余数是1，刚才我们也分析过，对于1的拆分是没有意义的，所以我们退一步，将最后一次的3和1的拆分，用2和2代替。
如果余数是2，那不消多说，直接乘以最后的2即可。
根据分析，得出代码：
1//JAVA
2public static int integerBreak(int n) {
3 if (n <= 3) return n - 1;
4 int x = n / 3, y = n % 3;
5 //恰好整除，直接为3^x
6 if (y == 0) return (int) Math.pow(3, x);
7 //余数为1，退一步 3^(x-1)*2*2
8 if (y == 1) return (int) Math.pow(3, x - 1) * 4;
9 //余数为2，直接乘以2
10 return (int) Math.pow(3, x) * 2;
11}
郑重申明（读我的文章必看）：
本系列所有教程都不会用到复杂的语言特性，不需要担心没有学过相关语法，使用啥语言纯属本人翻牌子心情。
作为学术文章，虽然风格可以风趣，但严谨，我是认真的。本文所有代码均在leetcode上进行过测试运行。
算法思想才是最重要的。
03PART证明过程
答案是碰出来了，但是我们是通过观察，发现最优因子应该是3。那如何来证明这个结论的正确性呢？
首先，通过均值不等式，很容易验证当每一个拆分值都相等的时候，才具有最大值，所以实际上就是将这个数均分。那么，对于整数
，我们将其分解成
份，每一份为
则有
则相乘结果为：
求
的极值点为
，最接近的也就是3了。（注意：这里是整数，如果是实数，该证明则有漏洞）
04PART都看不懂
一力破万法，乱拳打死老师傅，使用万能的动态规划求解。
dp[i]代表i拆分之后得到的乘积的最大的元素，比如dp[4]就保存将4拆分后得到的最大的乘积。状态转移方程式为
dp[i]=max(dp[i],(i-j)*max(dp[j],j))
整体思路就是这样，将一个大的问题，分解成一个一个的小问题，然后完成一个自底向上的过程。举一个例子，比如计算10，可以拆分6和4，因为6的最大值3*3，以及4的最大值2*2都已经得到，所以就替换成9和4，也就是10=3*3*4。
代码如下：（CPP听说很受欢迎？）
1//C++
2class Solution {
3public:
4 int integerBreak(int n)
5 {
6 vector<int> dp(n + 1, 0);
7 dp[1] = 1;
8 for (int i = 2; i <= n; i++)
9 {
10 for (int j = 1; j < i; j++)
11 {
12 dp[i] = max(dp[i], max(dp[j], j) * (i - j));
13 }
14 }
15 return(dp[n]);
16 }
17};
今天的题目可能有一定难度，建议大家自己写写画画，才能真正的做到理解和巩固。
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