拉马努金的那些壮观的公式,都是怎么发现的?

数学算法俱乐部

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2020-11-25 01:04

数学算法俱乐部

日期 : 2020年11月24日       

正文共 :1410字6图

来源 : 今日头条


哈代给拉马努金的定位是


拉马努金在印度之时,数学一直很好,而激发拉马努金的研究天赋的是,卡尔的《纯粹与应用数学基本结果概要》一书,这本书系统阐述了6165条定理,以比较科学的形式罗列着,并附上了证明(但是这部分比 较无聊)。
该书内容对三角学、微积分、解析几何都有涉猎,不过明显作者最偏爱积分、级数,也是他讲 得最好的部分,这也是拉马努金所钟爱的部分。


这本书对拉马努金的影响,说多大都不为过 不过该书一点没讲函数论和椭圆函数,所以哈代怀疑拉马努金可能至死也不曾解析函数的概念,而又对他 从哪里获得的与椭圆函数有关的知识表达了疑惑。拉马努金的笔记本,实际上可以看做他学习这本书所做的读书笔记,他沿袭了这本书展示定理的方式。他证明了这书里的一些内容,因为没有其他书的帮助,对他而言,每个解法都是一项研究。他除了做一些证 明,另外做出的推广则显得更为丰富、重要,不过几乎完全没有证明。

拉马努金发现的一些等式
另外关于拉马努金曾说的“娜玛卡女神在梦中用公式向他启示”,我觉得更像是一种譬喻。毕竟,按哈代 的分析,拉马努金是不“信”神的。

拉马努金发现的一些等式

还有一个最NB的式子:


默默的膜拜一下拉马努金...
另外有网友提出了自己的看法:
小学低年级的时候就发现了x^2-y^2=(x+y)(x-y)这个公式。这个式子很简单,用简单的代数知识就可以证明,但是当时我并没有学过任何的代数知识,我是如何得到的呢?以下是我的思维完整过程:
因为我算过4-1=3,而3=3*1,3和1恰好等于2+1和2-1;同样我也算过9-1=8,而8=4*2,4和2恰好是3+1和3-1。9-4也是这个道理。
所以虽然小学时没有接受过任何正规的代数知识,也无法给出证明,但是通过大量运算经验我就可以猜出“两个数的平方差等于两个数之和乘以两个数之差”这样的公式。
另一个例子是,我在小学时也自己发现了等差数列求和的经验公式,同样完全没有代数知识的情况下,大量运算经验让我知道用1+9,2+8,3+7...这样的算法会更简便。
好,现在回到Ramanujan上来。显然,Ramnujan的运算能力远超常人,影片和各种资料也多次证实这一点。做一个类比,在他眼里做乘方开方的运算就和我们做加减法的难度差不多。在他眼里做积分和微分就和我们做乘除法差不多。而且他可以轻松把这些乘方开方积分微分的数字算到成百上千。


当你有了这等惊人的运算能力,你会觉得那些公式就变得瞬间亲切了(你不妨把那些式子乘方开方全部替换成加减法来看)。因为他完全可以就像我小时候那样,只需自己代数字进去算就可以了,完全不需要知道证明过程,但是却可以猜出公式。这就是他为什么能写出公式,却很多时候写不出证明过程的尴尬。因为实际情况是,他脑子里算了一大堆发现都是对的,但是哈代问他要严格证明的时候他却给不出,最后只能说是直觉。这也是影片中他给人感觉一直不太自信的原因,原因很大可能就是他是用枚举法算的,而不是严格证的,所以一直感觉他无法据理力争。
我们常人看这些公式觉得简直开挂,仿佛来自虚空,归根结底还是我们的运算能力跟不上罢了。


— THE END —


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