干掉公式 —— numpy 就该这么学
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2021-05-11 19:53
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文 | 太阳雪
来源：Python 技术「ID: pythonall」
机器学习和数据分析变得越来越重要，但在学习和实践过程中，常常因为不知道怎么用程序实现各种数学公式而感到苦恼，今天我们从数学公式的角度上了解下，用 python 实现的方式方法。
友情提示：不要被公式吓到，它们都是纸老虎
关于 Numpy
NumPy 是使用 Python 进行科学计算的基础软件包。除其他外，它包括：
功能强大的N维数组对象 精密广播功能函数 集成 C/C+和Fortran 代码的工具 强大的线性代数、傅立叶变换和随机数功能
机器学习和数据分析，numpy 是最常用的科学计算库，可以用极简的、符合思维习惯的方式完成代码实现，为学习和实践提供了很大的便利
环境准备
创建虚拟环境（可省略），安装 numpy 包：
pip install numpy
测试安装：
>>> import numpy
>>>
在下面实践中，默认将 numpy 引用为 np：
import numpy as np
...
基础运算
编程语言大多数运算都是针对简单数值的，复杂运算是通过相应的数据结构结合程序逻辑计算的。numpy 虽然是针对复杂数据结构（例如矩阵）构造的，但它提供了和简单数值计算一样方便的操作。
幂运算
幂运算的运算符为 ** ，即两个星号（一个星号表示乘），例如计算 x 的平方：x**2，x 的立方：x**3，等等
开方，相当于计算 1/2 次方，即 x**(1/2) 或者 x**0.5，因为常用 numpy 提供了便捷函数，sqrt，例如对数字 x 开平方，就是 np.sqrt(x).
实际上平方运算也有便捷方法：
np.square
绝对值
绝对值表示一个数轴上的值距原点的距离，表示为 |x|，numpy 提供便捷方法abs 来计算，例如 np.abs(x)，就为 x 的绝对值
理解向量和矩阵
线性代数是机器学习和数据分析的基础数学之一，而向量和矩阵式又是线性代数的基础概念，所以理解向量和矩阵非常重要。
向量
一般数据被分为标量和向量，标量比较容易理解，即数轴上的一个数值
向量直观的认识是一组数值，可以理解为一维数组，但是为啥常见定义表示：具有方向的数值，方向指的是啥？这个问题困扰了我很多年（苦笑）。实际是因为在开始学习线性代数时，直接从公式定理开始，而没有了解它的原理和来源。
向量的方向指的是，向量所在坐标系的原点指向该向量在坐标系中表示的点的方向，例如在平面直角坐标系中，向量 [1,2] 表示 x 轴为 1，y 轴为 2 的一个点，从原点，即 [0,0] 点指向这个点的方向，就是这个向量的方向，扩展的三维坐标系，再到 n 为坐标系（当然超过三位人类就比较难以理解了），向量元素的个数表示向量属于几维坐标系，但无论多少维，都可以画出原点指向向量点的方向。
因为线性代数研究的是向量及向量组（矩阵）的纯数学计算，所以丢弃了坐标系的概念，只保留了向量的样子，所以造成了向量难以理解的现象。
简单说，向量就是一个数值的数组。
矩阵
理解了向量，矩阵理解起来就容易了，相当于一组向量，即坐标系中的多个点的集合，矩阵运算，就相当于多个向量的运算或变换。
可能这里比较绕或冗余，先解释到这里，后面的文章中会进一步解释向量和矩阵的实际意义
初始化
numpy 中，提供了多种产生向量和矩阵的方法，例如用 array 可以将 python 数组初始化为 numpy 矩阵：
m = np.array([(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)])
就可以创建一个 向量维度为 3，个数为 3 的矩阵
基本运算
numpy 特别擅长处理向量和矩阵的运算，例如乘法，即给向量中的每个数值乘以乘数，之间写代码的话，可以遍历向量，为每个值乘以乘数。
用 numpy 就简单很多：x * 2，就像做标量运算一样，感觉向量同一个数值一样。
加法 x+2，减法 x-2处罚 x/2
矩阵幂运算
向量、矩阵既然可以看成一个数，幂运算就很容易理解了，例如矩阵
m 平方就可以写成 m**2, 结果为：
矩阵点积
不同维度的矩阵可以做乘法操作，但不是一般的乘法操作，操作被称为点积，为了用 numpy 表示，需要用 dot 函数，例如矩阵 m 和 n
代码为 m.dot(n)，就会得到如下结果：
求和与连乘
统计学公式中，求和运算很常见，例如对矩阵求和：
表示对矩阵 m 中所有元素进行求和，nunpy 通过 sum 完成计算： m.sum()
连乘和求和类似，将矩阵中所有元素做乘积运算:
numpy 通过 prod 完成计算，如矩阵 m 的连乘为 m.prod()
实践
了解了上面的各种基础运算后，做些实践
计算均值
向量均值公式为：
分析公式，其中 n 为向量 x 的元素数量，numpy 的向量，通过 size 获取，后面是向量求和，用 sum 完成，最后代码如下：
(1/x.size)*x.sum()
或者
x.sum()/x.size
实现 Frobenius 范数
现在来个复杂点的，Frobenius 范数，公式如下:
先不用纠结 Frobenius 公式的意义，我们只看如何用 python 实现，分析公式，可以看到，首先对矩阵的每个元素做平方运算，然后求和，最后对结果进行开方，那么就从里向外写
矩阵元素求和，根据前面所述，写成 m**2，会得到新的矩阵，然后求和，直接可写为：
np.sqrt((m**2).sum())
借助 numpy 实现公式，极为简洁。
样本方差
我们再看一个公式：
其中
表示向量 x 的均值，上面计算过，那么套用起来就是：
np.sqrt(((x-(x.sum()/x.size))**2).sum()/(x.size-1))
基本依据上面了解的写法可以理解和写出，不过括号有点多，如果不参考公式，估计看不清实现的啥，好在 numpy 将均值运算通过 mean 方法简化了，例如向量 x 的均值，可以写为：np.mean(x)，所以上面的代码可以简化为：
np.sqrt(((x-np.mean(x))**2).sum()/(x.size-1))
上面公式实际上是样本标准差公式，对于标准差，numpy 提供了简便方法 std, 直接用 np.std(x) 就可以计算，当然现在我们根据标准差公式：
很容易写出来 numpy 实现，赶紧试试吧。
欧拉距离
前面写模拟疫情扩散时，用到了欧拉距离，当时没有理解好 numpy 公式表达能力，所以计算时分了三步，现在如果要计算两个向量之间的欧拉距离，一行代码就能搞定，先复习下欧拉距离公式，向量 a 与 向量 b 的欧拉距离为：
numpy 实现为：
np.sqrt(((a-b)**2).sum())
由于欧拉距离应用广泛，所以 numpy 在线性代数模块中实现了，所以了解 numpy 实现数学公式的方法后，可以简化为：
np.linalg.norm(a-b)
总结
numpy 是个博大精深的数学计算库，是 python 实现科学计算的基础，今天我们从数学公式的角度，了解了如何转换为 numpy 的代码实现，限于篇幅，虽然仅是 numpy 的冰山一角，但却可以成为理解 numpy 运算原理的思路，在数据分析或者机器学习，或者论文写作过程中，即使不了解 numpy 中简洁的运算，也可以根据数学公式写出代码实现，进而通过实践学习和了解 numpy 就更容易了
参考
https://blog.csdn.net/garfielder007/article/details/51386683 https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/102712946 https://mathtocode.com/ ------------------- End -------------------
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