数学：追求真和美的学问

数学算法俱乐部

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· 2021-06-19

数学算法俱乐部

日期： 2021年06月13日

正文共：4791字

来源：网络

什么是美，什么是丑？这些是艺术家、哲学家和设计师喜欢辩论的问题，但是对数学家来说，几乎没有争论的兴趣。他们通过简便和清晰的特性，一眼就能辨识出美的数学理念。

当有人两眼放光地跟你讲一件事情时，那一定是对他很特别的东西——一件很棒的礼物，一个巨大的惊喜，或一种非凡的体验。20 年前，我作为一个物理系学生上大课时，看到了教授眼中的光芒，这位数学家正兴奋地讲述“刺猬定理”的证明过程。

刺猬定理不难理解：当一只刺猬蜷缩成一个球时，在它竖着的所有刺当中，至少有一处秃着的地方。在这个地方，紧密排列的刺指向不同的方向，就正像我们头上的发旋一样。因此，在英语中，刺猬定理也被称为“毛球定理”。将这个定理翻译成白话就是：无论你如何梳理毛发，在一个沾满毛发的圆球上总是至少有一个旋儿。

我的数学教授用了 90 分钟和几块写满的黑板来证明刺猬定理。这绝不是一个简单的证明，但尽管如此，他还是很高兴地为我们学生指明道路，因为这毕竟也是对一个定理相当漂亮的证明。

那么在数学领域，究竟什么是漂亮？我喜欢把这门学科与足球做比较。球员们都必须掌握某些基本技术，并了解比赛规则。谁要是想把球踢进球门，就不应该仅仅掌握一种射门技术。球员们常用的是正脚背射门或脚内侧射门，但在某些情况下，技术上更具挑战性的倒勾射门也不错。

数学也是一样的。乘法表属于基础知识，质数和三角形也是基础知识。知道二项式公式和勾股定理的人会有更大的可能性解答出问题。当然，在某些情况下还需要会求微分和积分，就像倒勾射门似的更具挑战性。

可能现在你已经明白了，草坪上漂亮的传球动作和优美的数学都是如何出现的。通过将已知和熟悉的知识储备中的各种技术，创造性地重新结合起来——最好以出人意料的方式。在足球方面，以这种方式组建的球队可以快速突破经验丰富的防守；在数学方面，也许会想出一道至今无法解答的问题的绝妙解法。甚至有时候，足球运动员和数学家都会发现一个以前没有人知道的新技巧。

数学就像踢足球

我们都知道，练得越多，好处越多。职业人员会比业余足球运动员、业余数学爱好者掌握更多的专业技术，他在踢球或论证时就会更有把握。但我们不是非要跟巴萨俱乐部签了合同才能享受足球的乐趣。哪怕是在丙级联赛，球员们也会因一个进球或一记精妙传球而激动不已。同样的道理，人人都能享受数学的乐趣。

然而，当一谈到对美的判断时，足球和数学就没有什么共同点了。球迷们对谁踢球踢得最漂亮，很少会达成一致。当然，多数人都会说：当然是我支持的球队。但即使是内心没有支持某支球队的业内专家，对于一场漂亮比赛的看法也各有不同。第一个专家喜欢快速、直接的比赛。第二个专家喜欢彩虹式过人技巧和巴西花式足球。第三个专家偏爱无穷无尽的传球，在过去几十年里，西班牙队用这种传球快把对手逼疯了。

美是什么？这个问题，不仅足球迷们在争论，哲学家、艺术家、艺术科学家和心理学家也在争论，都争了好几千年了。但在数学领域，问题却有所不同。当一个数学家说“这是一则特别漂亮的证明”时，几乎不会有同行反驳。这不是很奇怪吗？

很明显，数学家们对什么是美，有着共识。然而，我们要寻求美的明确标准是徒劳的。有些人喜爱极其简单，有些人则追求清晰明了或短小精悍。对柏林的数学家马丁 • 艾格纳（Martin Aigner）来说，美就是由透明性、一致性和简便性组成的三重和弦，是它们使数学证明变得漂亮。跟外行相比，艾格纳对透明、简便的证明的概念肯定会略有不同，但总的来说，你基本无法反驳他。

证明就是展示某一陈述的正确性。冗长而复杂的证明并不少见。我想通过一个简单的比喻来说明，我心目中一个漂亮优雅的证明是什么样的。请想象一下，你站在一座山上，你要把你旁边的一块巨石滚下山去。问题是：你的力量根本不足以搬动这块巨石。不管你如何推动和摇晃，这块巨石几乎没有移动过一毫米。

你沮丧地围绕着这块巨石走来走去，突然在它背面看到，有一块小石头被卡在它下面，就是这东西使得巨石无法滚动。而这块小石头就是解决问题的关键！你不再试图用自身的力量把巨石滚动起来，而是将巨石摇动一点点，同时快速地抽出小石头。之后，巨石自己就滚动起来。你不要让巨大的岩石滚过一个小的障碍物，而是要直接把小的障碍物拿走。这个方法很聪明，因为它节省了很多力气。对于我来说，一个漂亮的证明就是同理。看似困难或无法解决的问题，突然就变得容易了。

英国数论学家戈弗雷 • 哈罗德 • 哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）甚至宣称，数学普遍都是美的。在他看来，不美的事物根本不能持久：“世上没有一个永久的地方容纳丑陋的数学。”

那么哈代所说的“丑陋的数学”，到底是什么意思？我认为，我们所有人的定义都一样：关联不清楚、论证缺失条理和阐释冗繁的数学。

相信数学之美

有一位伟大的数学家，对美丽的证明特别感兴趣，他就是匈牙利人保罗• 厄多斯（Paul Erdős，1913—1996）。他说过，有些证明特别美妙，但也有小小的瑕疵，而最遗憾的是，这些证明就错了。

像哈代一样，厄多斯坚信世界上一定有既正确又美丽的证明。他甚至还提到要编写一本书，书里的“上帝”收集了所有最完美的证明。“你没必要相信上帝，”他认为，“但作为数学家，要相信一定有这本书。”

厄多斯在写完这本书之前去世了。君特• 齐格勒（Günter Ziegler）和马丁 • 艾格纳在 2002 年将这位匈牙利数学家的想法变成现实。他们把作品命名为《证明之书》（Das Buch der Beweise）。可惜这里面收集的大部分证明对非专业读者来说都太难了，大部分都要求读者具备大学数学基础。但是在本章，我想向你们介绍这本书里的一个证明，也是一则经典证明：

定理：有无限多个质数。

什么样的证明才是最佳的呢？也许我可以尝试，挨个数清楚所有的质数。但在证明过程中，我可能会发现这事没有尽头。这得花多长的时间啊？如果确实有无限多个质数，时间就会无限延长。这样就证明不出来，这点我们都很清楚，那接下来该怎么办？

不要直接解决问题，而是间接证明——从后面迂回过来。我们用间接证明来证明

论点，也就是反驳论点的对立面。由于数学的逻辑一致性，间接证明是完全可行的。一个论点要么正确，要么错误。两个互相矛盾的论点不可能同时为真。

我们回到质数问题。我们不要试图直接解答问题，因为这样我们会面临无穷多数量的困境。相反，我们假设这个论点是错误的，也就是假设只存在有限多个质数。然后我们再看看，这个假设是否真的正确。

如果只存在有限多个质数，数学家们则喜欢说成：存在 n 个质数。n 有多大，并不重要。我们将这n 个质数设为 p1、p2、p3、……、pn。

我们把这些质数相乘：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn

就会得到一个有趣的自然数：它可以被 n 个质数p1、p2、p3、……、pn 里的任意一个质数整除，因为这个数是所有这些质数的乘积。例如，2×3×5 = 30 当然可以被 2、3 和 5 整除。

现在就是这个间接证明的真正窍门：我们在 n 个质数的乘积之上再加 1 ：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn + 1

所得之数同样也是一个自然数，但是它不能被这 n 个质数里的任何一个质数整除，确切地说，在做除法之时总是会余 1。我们再回到例子 2、3、5 ： 2×3×5+1=31。得到的数 31 既不能被 2 和 3 整除，也不能被 5 整除。

从上述思考中，会得出什么结论呢？由于 p1× p2×p3×……×pn+1 不能被这 n 个质数里面的任何一个质数整除，所以这个数本身就一定是一个质数，它不包含在 p1、p2、p3、……、pn 里面；或者它是多个质数的乘积，但这多个质数不属于前面给出的 n 个质数。这就与我们假设的只存在 n 个质数互相矛盾了。

也就是说，只存在有限多个质数的假设是错误的。我们刚刚展示了如何将 n 个质数组合为一个新的质数。这也说明，确实存在无限多个质数。这样一来，我们就成功证明了这个定理。

这个证明简短得出乎意料。这个证明美妙的地方是，你不必纠结无限多个质数，反正都是不可能的。相反，我们只需要用两行数：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn

和

p1×p2×p3×……×pn +1

就能证明存在无限多个质数。这太美妙了！

康托尔的天才妙招

在本文开头的质数证明中，我们巧妙绕过了无限多的数量。现在我们再来一个不会吓到你们的证明。来自德国哈勒的数学家格奥尔格•康托尔（Georg Cantor）在 100 多年前首先创立了集合论。你肯定知道自然数的集合、所有分数的集合，还有有理数的集合。康托尔感兴趣的是，一个集合的势是否比另一个集合的势大。

所谓“势”，并不是指数字的范围或大小，而是其他东西。如果两个集合“等势”（一样大），打个比方，这两个集合里的元素可以办一场舞会，在这场舞会里，没有人会因为找不到舞伴而失落地看着别人跳舞。第一个集合里的一个元素和第二个集合里的一个元素组成了一对舞伴。

在等势的两个集合里，两个集合中的每个元素都能找到一个舞伴，没有人会被单独剩下。

如果是 50 个女孩在舞会上遇到 30 个男孩，这就行不通了。因为女孩的集合的势比男孩的集合的势更大。

康托尔还将含有无穷多元素的集合进行过比较。例如，他曾思考过，当自然数和分数在一场舞会中相遇时，会发生什么呢？简单起见，我们这里只讨论正分数。每个分数都找到舞伴了吗？或者，有个别分数只能默默地旁观？

我们想当然地认为：在两个自然数 0 和1之间存在无穷多个分数，如 1/2、1/3、1/4 ……因此，分数明显应该更多，尽管两个集合都包含有无穷多的元素。但是康托尔可以证明，自然数集和分数集等势——每个数字都保证能找到一个舞伴。

自然数是可数的——这很明显。我从 0 开始数，每个任意大的数字在某一刻都能被我数到。由于有无穷多的自然数，我们可以说，自然数集是可数无穷的。这就是说：我们可以把这个集合的所有元素都逐一编号。我从集合中取出的每一个元素，都具有一个编号。在自然数集合里，这个编号与自然数本身完全一一对应。但对于其他可数无穷集合，这不是那么容易实现的。

那么我们如何将无穷集合进行比较呢？很简单：当一个集合同样是可数无穷时，这个集合就跟自然数集等势。它在分数集里表示就是：我随机选出一个元素，例如 2/3，然后就像在“他”的额头上贴上一个编3号。康托尔的功劳就是编出了一份指南，让我们能够计算这些编号。

康托尔证明正分数集和自然数集等势，是基于两种天才般的想法。首先，他设计了一张表格（见下表），在这个表格里，所有正分数都有它们固定的位置。你可以在这里看到这张表格的左上方部分——表格向右和向下无限延伸。