黎曼猜想和哥德巴赫猜想有什么联系?-技术圈

数学算法俱乐部

日期： 2020年12月28日

正文共：5347字

作者：郁林成森

严格上讲黎曼猜想与哥德巴赫猜想并没有特别明显的联系（至少现在应该没有什么神奇的定理表明二者是等价的），不过在对哥德巴赫猜想的研究过程中黎曼猜想确实扮演了类似敲门砖的作用。先讲黎曼猜想（the Riemann Hypothesis）：

一、黎曼函数

所谓的黎曼

函数是无穷级数

在

这大半个复平面上的解析延拓（analytic continuation）.因为在

这里上述级数是不收敛的，1859年德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年在其文《论小于给定数值的素数个数》中首先找到了如下的解析延拓

可以证明，在上述解析延拓中除了在

处有一个简单的极点（simple pole）外，在整个复平面上是处处解析的，即所谓亚纯函数（meromorphic function）.通过上述表达式可以证明，黎曼

函数满足下列函数方程

首先可以从上述表达式中看出黎曼

函数在

（

是正整数）出取值为0，是为平凡零点（但要注意一点解析延拓后的表达式与原来的级数表达式已然不同，所以你不能简单地令

然后说

这毕竟是很多民科“引以为豪”的结果）.黎曼发现

函数除了有上述平凡零点外也有无穷多非平凡零点（non-trivial zero），这些零点的性质远比平凡零点来得复杂，黎曼经过研究后提出日后成为数学界最为艰深的猜想——黎曼猜想：黎曼函数所有非平凡零点均位于复平面的直线上学界称这条直线为临界线（critical line）我们可以很容易地从上面函数方程中看出来黎曼

函数确实关于临界线有某种对称性，因此黎曼凭借他强大的直觉猜测很有可能

函数所有非平凡零点都是在临界线上的（不过后来事实证明黎曼自己确实是算过一些零点的数值的）。为了对

函数进一步研究，黎曼引入了辅助函数

容易发现

函数的零点恰好便是

函数的非平凡零点（因为

是

极点，所以也就不是

函数的零点了），也就是说

函数像一个细密的筛子将

函数的所有非平凡零点从其零点中筛了出来。利用复变函数的知识黎曼证明了

这下子对称性就变得尤为明显了。我们记

为

函数的零点便有

这里

与

总是配对出现的。需要注意的一点，上述连乘积展开对于有限多项式虽是显然，但对这种无穷乘积却不总是成立的，这背后蕴含着极其深刻的原因。直到1893年阿达马（Hadamard)对以

为代表的整函数（entire function）进行系统研究之后，才完完全全证明了黎曼这个表达式。利用

函数黎曼研究了零点分布并且提出以下三个猜测：
猜想一：在

的区域内，

的零点数目约为

猜想二：在

的区域内，

在临界线上的零点数目也约为

猜想三：

的所有零点均在临界线上. 可以看出，黎曼的三个猜测是呈阶梯一般不断增强的，而最后一个便是大名鼎鼎的黎曼猜想。需要指出的是，除了猜想三黎曼确确实实承认自己证不出来外，猜想一、二都被黎曼认为是简单的（但他并没有给出完整证明，鉴于黎曼的人品，黎曼极有可能确实证明了这两个猜测）。不过随便举个例子你们感受一下这三个猜想的分量，最简单的猜想一直到黎曼的论文发表46年后才被证明；次简单的猜想二直到现在也没被证明，它强于所有已经取得的结果；至于猜想三嘛，呵呵……

二、黎曼函数与素数分布

熟悉初等数论的人都知道欧拉（L.Euler）在1737年发表的一个著名公式

其中

遍历所有素数.借由这个公式，我们便将黎曼

函数与素数紧密地结合在一起，换句话说：黎曼

函数解密了素数的结构。（By the way，利用这个乘积可以很简单地证明素数有无限个）利用欧拉的这个公式做引子，黎曼证明了如下结果

这里

，其中

为不大于

的素数个数.利用分部积分，黎曼得到

这下子联系就比较露骨了，左边是万能的

函数，右边是与素数分布直接相关的

，那么接下来要做的便是解出

：

而利用简单的莫比乌斯反演（Mobius inversion）可以得到

这样我们就把素数分布函数

完完全全蕴含在黎曼

函数之中.

三、素数定理

对素数规律的探求一直是数论领域的核心问题。对于

，高斯（Gauss）有如下猜想：

独立于高斯，勒让德（Legendre）也有如下猜测：

容易看出，这两者是等价的（不过我一直好奇1.08366是怎么找出来的……），共同被称为素数定理. 1896年，阿达马与普桑（de la Valee Poussin，这名一看就是上流社会）分别独立证明了黎曼

函数在

上没有零点，进而证明了素数定理。这当然是一个辉煌的成就，素数定理被证明之后，人们普遍希望能得到一个有精密误差项的估计。可以证明高斯的公式比勒让德的公式要精密得多（废话，气质就不一样，一个高富帅，一个土老帽……）。在黎曼猜想成立的假设下，人们证明了

反之，从这个公式也可以推出黎曼假设是对的，也就是说两者是等价的。（黎曼假设还有一个很有意思的等价命题：对所有的

，

其中

，等价性由Jeff Lagarias证明）

四、广义黎曼假设（GRH）

即使研究黎曼猜想受阻，但依然拦不住数学家们想要高飞的心。所谓的广义黎曼猜想，就是黎曼猜想的2.0版本，不过其研究对象由黎曼

函数变成了更具广泛性的狄利克雷（Dirchlet）

函数。所谓狄利克雷

函数指级数

在

上的解析延拓，其中

是狄利克雷特征，称此函数为模

的狄利克雷

函数.今人有如下之猜想：所有的非平凡零点都位于临界线上显然，这个比黎曼猜想牛b多了，当然也难证多了。现代数论研究中，多以GRH为假设进行讨论，与黎曼假设类似，GRH可以推出：当

，令算术序列

中不超过

的素数个数为

，则有

同样的，这个公式反过来也能推出GRH.

五、研究进展

基本离证明还差得远呢……（好吧好吧，我承认是来凑字数的）不过有好多有希望的想法，有复变函数论的（黎曼猜想多半是个复变函数问题），有解析数论的，有非对易几何的（代表人物法国大数学家孔涅，不过希望渺茫）还有量子力学的！！！（没错，确实有量子力学的，参见“希尔伯特—波利亚猜想”）但怎么有种有生之年看不到的感觉……
简单介绍一下孔涅的研究：（严格上说孔涅的证明思路是属于量子力学的，但他在研究过程中确实也用了非对易几何，具体效果如何恐怕不容乐观。）孔涅写出了一组方程，用其构造了一个量子力学体系，这个体系的本征值恰好对应着黎曼ζ函数在临界线上的非平凡零点，如果孔涅能证明出了对应本征值的零点外没有其他非平凡零点了，那也就相当于证明了黎曼猜想了，但就目前来看要做到这一点难比登天。

六、哥德巴赫猜想（Goldbach Problem)

在1742年给欧拉的一封信中，哥德巴赫提出了两个猜想，欧拉用稍微简练的语言改下后表述如下：（哥德巴赫猜想）每一偶数

都能表成两奇素数之和，即

. （弱哥德巴赫猜想）每一奇数

都能表成三个奇素数之和，即

. 很明显，哥德巴赫猜想可以推出弱哥德巴赫猜想。在1900年的第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特（D.Hilbert）向全世界的数学家们建议了23个问题，其中哥德巴赫猜想便是第八问题的一部分。12年后的第五届国际数学家大会上，兰道又将其作为素数论中未解决的4个难题加以推荐，时至今日，对哥德巴赫猜想的研究极大带动了解析数论的发展，从这个意义上来讲，哥德巴赫猜想可谓是素数论中的核心问题。

七、弱哥德巴赫猜想与GRH

数学家们首先向弱哥德巴赫猜想发起冲锋。第一次重大突破发生在20年代，哈代(Hardy）和李特尔伍德（Littlewood）在其“算术分拆”的系列文章中创立并发展了“圆法”即把方程

的解数表为积分，并将积分区间

表为一段“优弧”和一段“劣弧”。然而此积分的上下界估计均需要广义黎曼假设（GRH）来得到，因此在假定GRH成立的前提下，哈代和李特尔伍德证明了： 每个充分大的奇数都是三个奇素数之和和 几乎所有的偶数都是两个素数之和，即令为不超过的不能表为两素数之和的偶数的个数，则有.这一方面表明在GRH的假定下，哥德巴赫猜想基本成立；另一方面有暗示广义黎曼假设与公理体系中的很多定理是相容的，这就增强了GRH的可信度。直接来说，在哈代和李特尔伍德的证明中用到了GRH导出的有关

的估计式：对任意的

这明显是GRH的算术形式，用素数定理的方法来处理优弧上的积分当然也可以但是不足以推出弱哥德巴赫猜想。到1936年事情出现了转机，帕奇（A.Page）与西格尔（C.L.Siegel）分别先后独立证明有关

的估计式，他们的结果虽然比GRH要弱很多但是已经比当时已取得的结果要强不少，也足以导出优弧上的积分估计。数学家们意识到哈代和李特尔伍德证明中的GRH是有可能被取消的，稍后维诺格拉多夫（Vinogradov）和埃斯特曼证明了：每一个充分大的奇数皆可以表为两个素数及一个两个素数乘积之和，即和每一个充分大的整数都是两个素数和一个平方的和，即.大多数人认为在不依赖于GRH的传统圆法证明中这已经是很好的结果了，很难被超越了。1937年，维诺格拉多夫改造了传统圆法，将劣弧上的积分化为估计三角和

其中

，他给出了

的一个非同寻常的估计，并使他无条件地证明了 每个充分大的奇数都是三个奇素数之和 但是这个”充分大“到底有多大才够，首先是其学生波罗斯特金（Borozdin）计算出来

已经足够大了，很显然，这个下界太大难以用计算机验证，紧接着波罗斯特金又将下界改进成了

，但是依然太大难以用计算机来验证……话说那时候有民用计算机吗？？后来大家就这么拖着拖着拖到了2002年，香港大学的廖明哲和王天泽将下限降到了

，但这TMD还不够！！2012年，加州大学洛杉矶分校的陶哲轩（T.Tao）大神首次不借助GRH完全证明了：奇数都可以表为最多五个素数之和2012、2013年，巴黎高师的哈洛德·贺欧夫各特连发两篇论文将下界降到了史无前例的

，其同事大卫·帕拉特（D.Platt）利用计算机验证了小于该下界的所有奇数均符合要求，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

八、哥德巴赫猜想与GRH

对哥德巴赫猜想的研究主要是围绕圆法进行的，以华罗庚为代表的中国解析数论学派在其中发挥着举足轻重的作用。筛法源于公元前250年的Eralosthenes筛法，Eralosthenes用该方法制作出了世上第一张素数表。1919年，布伦对传统筛法进行了大幅度改进，并首先将其应用于哥德巴赫猜想的研究，他证明了 每一个充分大的偶数都是两个素因子个数不超过9的整数之和，简记为“9+9” 我们可以类似定义

，布伦这个结果的意义不但是大大提高了筛法的战斗力而且开辟了一种证明哥德巴赫猜想的新思路，即不断降低

的大小，等到降到

也就证明了哥德巴赫猜想。有了布伦的方法，有关哥德巴赫猜想的结果成井喷式增长：1924年，拉代马海（H.Rademacher）证明7+7 1932年，埃斯特曼证明6+6 1937年，里奇（Ricci）证明了5+7,4+9,3+15,2+366（大神……） 1938年，布赫施塔布（Buchstab）改进布伦筛法证明了5+5 1940年，布赫施塔布证明4+4 其后，塞尔伯格（A.Selberg）发表了他著名的

方法，该方法可以得到比布伦筛法更好的结果。起初

方法是被塞尔伯格用于研究孪生素数问题，华罗庚首开先河将其应用于哥德巴赫猜想的研究，想法便是利用

方法改进布伦筛法的上界估计，同时利用布赫施塔布筛法得到更好的下界估计，在华罗庚的帮助下王元于1955年证明了3+4，这标志着中国解析数论学派开始在该问题的研究领域占据领导地位。不巧的是，几乎同时维诺格拉多夫得到了更好的结果，换而言之，他证明了3+3；王元发现维诺格拉多夫的结果可以直接由

方法得到，他指出了维诺格拉多夫证明中的不足并加入了一些新的想法，维诺格拉多夫对他的3+3证明做了更正。同年，孔恩（P.Kuhn）发表了他关于

序列中素数问题的几篇文章，里面包含了不少的新想法。结合孔恩的方法，王元证明了3+3和

。时间相隔不远，在王元之前其同事潘承洞证明了1+5和1+4。1957年春，王元在假定GRH成立的情况下证明了1+3，在此之前的最好结果是埃斯特曼的在GRH下的1+6和王元、维诺格拉多夫在GRH下的1+4。剩下的事就都知道了……陈景润发表了惊天地泣鬼神的《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数之和》论文，达到了筛法的巅峰远超此前取得的所有结果，不用GRH证明了1+2。陈景润证明1+2后人们普遍认为由于筛法自身的局限性，很有可能1+2便是最好的结果（此前人们认为筛法最多到1+3），因此如果想在陈氏定理上更进一步甚至证明哥德巴赫猜想，就需要引进更加新颖而且强有力的技术。

九.黎曼猜想可能构成哥德巴赫猜想的证明吗？

我的感觉是不太可能，且容我缓缓道来…… 就目前在整个数学上的地位来讲（我从对数学的发展角度出发说一点不成熟的见解），哥德巴赫猜想肯定是无法与黎曼猜想匹敌。因为哥德巴赫猜想横竖就是个数论问题，再牛B也就是个数论问题，而且从目前来看它也并未对除堆垒数论以外的数论分支产生重大影响，在这一点上它连费马大定理（FLT）也比不过。而黎曼猜想则不同，其证明不但对数论领域有深刻影响，而且可以对复变函数论的发展起相当积极的推动作用（前面说过了，黎曼猜想多半是个复分析问题），也就是说黎曼猜想是数学界最重要的问题，而哥德巴赫猜想则更像是某个智力竞赛题。那么，到底黎曼猜想可能构成哥德巴赫猜想的某种证明吗？要回答这一问题，首先就要回顾一下哥德巴赫猜想的历史（翻前文）：迄今为止，对哥德巴赫猜想的并未用到黎曼猜想，而是清一色用的是更厉害的广义黎曼猜想。原因很简单，黎曼猜想在这个问题上不够强！！另外，很有可能单从证明上讲黎曼猜想就要比哥德巴赫猜想难得多，更别提广义黎曼猜想。有可能若干年后，出了一位不世出的天才以不世出的方法证明了哥德巴赫猜想，但黎曼猜想仍然悬而未决。

最后说一句，哥德巴赫猜想跟孪生素数猜想有着极为深刻的联系，哥德巴赫猜想的相关结果一般而言是可以转换成孪生素数猜想的相关结果的，比如陈景润也曾证明过这样一个定理：存在无穷对素数和殆素数使得其为相邻的奇数.
这跟他的1+2很像，也跟孪生素数猜想很接近。

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