非常遗憾的是,目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取(包含所有可能)的吗?是正规(所有数字出现频率趋于一致)的吗?是随机(每一位上的数字都随机)的吗? 答案是:全都不知道。 我们很容易构造出一个合取数或者正规数,甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的,但是随便拿一个具体的数字,要想判断它是否合取、是否正规,却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机?别跟我提什么随机。 合取数和正规数有另一个有趣的性质:和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数(Stoneham number),在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了,可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规,可以称之为“绝对正规”。不幸的是,pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2,有论文证明,假如某个猜想是对的,那么pi就是二进制正规;但那个猜想本身也只是“很可能正确”,还没有得到严格证明。 当然,我们都已经计算出pi的几百亿位了,可以看看它们的分布来猜规律;也可以通过一些其他数学方法拐弯抹角地试图推断。从已知事实来看,pi和正规性吻合得非常之好,换做任何别的人文、社科、自然科学,都可以当做定论来用了,因此几乎所有人都“觉得”它该是正规的。可惜,这是数学,数学是靠证明说话的,只要拿不出证明,数学家就不能安心睡好觉。 平面上的一个随机行走路线,每一步随机选择上下左右四个方向之一。本组行David H. Bailey and Jonathan Borwein,下同。 用四进制pi前1000亿位生成的行走路线,0123分别对应上下左右。看起来和随机的很像。但只是看起来。