有关数学的两则“笑话”1980年代初，杨振宁曾在韩国汉城作物理学演讲时说“有那么两种数学书：第一种你看了第一页就不想看了，第二种是你看了第一句话就不想看了”。当时引得物理学家们轰堂大笑。此话事出有因。1969年，杨振宁察觉物理上的规范场理论和数学上的纤维丛理论可能有关系，就把著名拓扑学家Steenrod着的“The Topology of Fibre Bundles纤维丛的拓扑”一书拿来读，结果是一无所获。原因是该书从头至尾都是定义、定理、推论式的纯粹抽象演绎，生动活泼的实际背景淹没在形式逻辑的海洋之中，使人摸不着头脑。上述汉城演讲中那句话本来是即兴所开的玩笑，不能当真的。岂料不久之后被Mathematical Intelligencer杂志捅了出来，公之与众。在数学界当然会有人表示反对，认为数学书本来就应该是那样的。不过，杨振宁先生说“我相信会有许多数学家支持我，因为数学毕竟要让更多的人来欣赏，才会产生更大的效果”。我想，杨振宁是当代物理学家中特别偏爱数学，而且大量运用数学的少数物理学者之一。如果连他也对某些数学著作的表达方式啧有烦言，遑论其它的物理学家？更不要说生物学家、经济学家、一般的社会科学家和读者了。另一则笑话，可在波兰裔美国数学名家S.M.Ulam 的自传《一个数学家的遭遇》（Advantures of a mathematician） ”中读到。该书294页上写道：“杨振宁，诺贝尔物理学奖获得者，讲了一个有关现时数学家和物理家间不同思考方式的故事：一天晚上，一帮人来到一个小镇。他们有许多衣服要洗，于是满街找洗衣房。突然他们见到一扇窗户上有标记：‘这里是洗衣房’。一个人高声问道：‘我们可以把衣服留在这儿让你洗吗？’窗内的老板回答说：‘不，我们不洗衣服。’来人又问道：‘你们窗户上不是写着是洗衣房吗’。老板又回答说：‘我们是做洗衣房标记的，不洗衣服’。这很有点像数学家。数学家们只做普遍适合的标记，而物理学家却创造了大量的数学。”杨振宁教授的故事是一则深刻的寓言。数学圈外的人们对数学家们“只做标记，不洗衣服“的做法是不赞成的。数学家Ulam 在引了杨振宁的“笑话”之后，问道，信息论是工程师C。Shannon创立的，而纯粹数学家为什么不早就建立起来？他感叹地说：“现今的数学和19世纪的数学完全不同，甚至百分之九十九的数学家不懂物理。然而有许许多多的物理概念，要求数学的灵感，新的数学公式，新的数学观念。” 理论物理的“猜”和数学的“证”1995年12月，杨振宁先生接到复旦大学校长杨福家的来信，请杨振宁在1996年5月到复旦为“杨武之讲座”做首次演讲。杨武之教授是杨振宁的父亲，又是中国数学前辈，早年任清华大学数学系系主任多年，五十年代后则在复旦大学任教授，所以杨振宁很愉快地接受了邀请。但是他不能像杨福家校长要求的那样做20次演讲，只准备讲三次。顺着这一话题，杨振宁先生又谈了理论物理和数学的一些关系。杨先生说：“理论物理的工作是‘猜’，而数学讲究的是‘证’。理论物理的研究工作是提出‘猜想’，设想物质世界是怎样的结构，只要言之成理，不管是否符合现实，都可以发表。一旦‘猜想’被实验证实，这一猜想就变成真理。如果被实验所否定，发表的论文便一文不值（当然失败是成功之母，那是另一层意思了）。数学就不同，发表的数学论文只要没有错误，总是有价值的。因为那不是猜出来的，而有逻辑的证明。逻辑证明了的结果，总有一定的客观真理性。”“正因为如此，数学的结果可以讲很长的时间，它的结果以及得出这些结果的过程都是很重要的。高斯给出代数学基本定理的五种证明，每种证明都值得讲。如果让丘成桐从头来讲卡拉比（Calabi） 猜想的证明，他一定会有20讲。但是教我讲‘宇称不守恒’是怎么想出来的，我讲不了多少话。因为当时我们的认识就是朝否定宇称守恒的方向想，‘猜测’不守恒是对的。根据有一些，但不能肯定。究竟对不对，要靠实验。”杨先生最后说：“理论物理的工作好多是做无用功，在一个不正确的假定下猜来猜去，文章一大堆，结果全是错的。不像数学，除了个别错的以外，大部分都是对的，可以成立”。杨先生的这番话，使我想起不久前Quine和Jaffe的一篇文章，发表于Bulletin of AMS，1993年8月号，曾引起相当的轰动。该文的主题是问“猜测数学是否允许存在？”。其中提到，物理学已经有了分工，理论物理做“猜测”，实验物理做“证明”。但是数学没有这种分工。一个数学家，既要提出猜想，又要同时完成证明。除了希尔伯特那样的大人物可以提出23个问题，其猜想可以成为一篇大文章之外，一般数学家至多在文章末尾提点猜想以增加读者的兴趣，而以纯粹的数学猜想为主体的文章是无处发表的。因此，两位作者建议允许“理论数学”，即“猜测数学”的存在。这样一来，现在有两种相互对立的看法。一方面，物理学界中像杨振宁先生那样，觉得理论物理的研究太自由，胡乱猜测皆成文章，认为数学还比较好的。另一方面，数学界如Quine和Jaffe那样，觉得目前数学研究要求每个结论都必需证明的要求，太束缚人的思想。应该允许人们大胆地猜测，允许有根据而未经完全确认的数学结论发表出来。二者孰是孰非，看来需要一个平衡。许多问题涉及哲学和社会学层面，就不是三言两语可以解决的了。
下载APP