把这种瓷砖铺满世界，图案也不会重复
数学算法俱乐部共
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2021-01-15 07:19
日期 ： 2021年01月10日
正文共 ：3993字
彭罗斯瓷砖能以永不重复的方式铺满无穷平面。这种出自数学家之手的图案同样出现在材料科学领域，还为我们带来了更好的不粘锅和 3D 打印材料1974年，英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）创造了一套具有革命意义的贴砖样式，这套贴砖，能够以永不重复的方式铺满在无穷平面上；1982年，以色列晶体学家丹尼尔·谢赫特曼（Daniel Shechtman）发现，某种金属合金的原子排列与之前测量的其它结果都不一样。后来，彭罗斯获得了数学圈中少有的公众知名度，谢赫特曼则赢取了诺贝尔奖。这两位学者，都违抗人类的直觉，改变了我们对自然结构的基本认识，并揭示了从高度有序的环境中出现无尽变化的可能性。两人突破的核心观念是“禁用对称性”（forbidden symmetry），之所以叫这个名字，是因为它完全违背了人们对重复与对称之间关系的固有认识。对称的基础是对称轴，出现于轴线一侧的形象，在轴线另一侧被完全复制。这种关系在数学中可以由贴砖图案反映出来。矩形、正三角形这类对称图形可以不留缝隙也不重叠地铺满平面。它们所铺的图案是周期性的，而且具有平移对称性。也就是说，如果你将图形错开到另一个位置，它还和没动过一样。彭罗斯是一位大胆而充满豪情的学者，他对单一的图形和重复不那么感兴趣，而对无穷的变化兴味盎然。准确说来，他感兴趣的是一类“非周期性”贴砖，它们由若干块组成一套，可以严丝合缝地铺满无穷大的平面，而构成的图案又不会重复。这可是一个难题，因为他不能使用具有二、三、四、六条对称轴的图形（如矩形、正三角形、正方形和正六边形），这些图形在无穷大的平面上会铺成周期性的重复图案。这就意味着彭罗斯只能依靠那些会在平面上留下缝隙的图形，也就是那些具有禁用对称性的图形。彭罗斯将思路转向具有五条对称轴的正五边形，想靠它来构建自己的无重复图案。他曾经提过，理由之一是五边形“看上去很顺眼”。彭罗斯贴砖的独到之处，就在于它们没有因为正五边形的线条和角度留下让人难受的空隙。它们的排列天衣无缝，在平面上辗转腾挪，眼看就要重复了，却总能峰回路转。彭罗斯贴砖吸引大众的原因主要有两个。其一，是他找到了只用两种贴砖就生成无限变化图案的方式。其二则更了不起，他找到的这两种贴砖，都是形状简单的对称图形，本身看不出一点不寻常的迹象。彭罗斯为他的非周期贴砖设计了几种不同的版本。最有名的一套称为“风筝”与“飞镖”。“风筝”看上去就和孩子们玩的风筝一样，飞镖的轮廓则像简化版的隐形轰炸机。两者都能干净利落地由对称轴一分为二，它们的表面还绘有两条简单、对称的弧线。彭罗斯制定了一条平铺规则：“合法”的拼贴必须能使弧线对接，连成连续的曲线。没有这条规则，风筝和飞镖就会摆出重复的图案；而在这条规则之下，就永远都不会出现重复。风筝和飞镖，永恒地舞动在五条对称轴周围，组合出满天星、十边形，蜿蜒的长线则绘成蝴蝶与花朵的形状。形态似“似”而非，蕴藏无穷变化。风筝与飞镖：英国数学家罗杰·彭罗斯只用风筝和飞镖两种形状（图中蓝线段构成的图形），就构造出了这片充满美感、变化无穷的图案。阿肯色大学数学系助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士论文主题就是彭罗斯贴砖。他为我们做了一个对比：“试想你走在一个由正方形构成的世界里，你每走到一块正方形的边缘，下一块都还是同样的正方形。一直走下去，你都知道会看到什么东西。”而彭罗斯贴砖的性质正好完全相反。“不论你掌握了多少信息、看过多少贴砖排列，你都无法预测下一步的花纹，它将会是你之前从未见过的图案。”平面上的非周期图案具有一个奇特的性质，排布位置的信息似乎能够通过某种方式跨过很大距离进行传递。某处的一块贴砖可以防止数百（甚至数千、数百万）块贴砖之外出现某种排列类型。哈里斯说：“局部约束鬼使神差地拓展为全局约束。这些贴砖在任何尺度下都不会出现周期性的片段。”比如，你可能要选择在一处放一块风筝，或是在另一处放一块飞镖。这两件事都能做到，但无法同时实现。在这些组合成无穷非重复图案的贴砖中，能看到斐波那契比例的身影。斐波那契比例又称为“黄金比例”。如果在两个数中，较小数与较大数的比，等于较大数与两数之和的比，那么这两个数就符合黄金比例。就贴砖来说，风筝的面积与飞镖的面积比等于黄金比例；风筝的长边与短边之比也等于黄金比例。彭罗斯贴砖还可以分割成小一号的贴砖。风筝可以分成两片小风筝和两片半块的小飞镖；飞镖可以分成一片小风筝和两片半块的小飞镖。（在任何合理的拼贴方式下，那些半块的飞镖都能两两组合。数学上我们将两片半块飞镖视为一个整体。）哈里斯说：“假设我有一片彭罗斯贴砖，包含 A 块风筝和 B 块飞镖，那么分割一次之后，我就能得到 2A + B 块风筝和 A + B 块飞镖。”如果分割无穷次，它们就可以看成是铺展在无尽平面上，由此便能够得到两种贴砖数量的整体比例。对于这种计算，重复图案的比例一定是有理数，如果不是，就说明图案永远不会完全重复。彭罗斯贴砖的比例不仅是无理数，而且还是斐波那契比例，飞镖数：风筝数量=风筝数：贴砖总数。不论是菠萝的螺纹还是兔子的繁殖，斐波那契比例在自然界中都随处可见。不过它一个与物质世界没什么关系的贴砖系统居然也以斐波那契比例为基础比例，这就叫人奇怪了。彭罗斯的创造在数学上让人眼前一亮，而且它们那种非自然的组合，也非常引人注目。这就好比他写了一本介绍某个新物种的小说，结果动物学家真的发现了这个物种。彭罗斯贴砖实际上将黄金比例这个人工发明的数学概念，与我们身边的数学联系到了一起。彭罗斯在接受禁用对称性之时，还不知道自己已经处于为材料科学带来革命的新思潮之中。毕竟，对称一直是纯数学和自然世界的基础。天文学家马里奥·利维奥（Mario Livio）将对称称作是“破解自然设计的最根本工具之一”。大自然使用正方形与正六边形的理由和人类设计者一样：它们简单、有序、有效率。如果五边形在贴砖图案这种简单的室内设计中都不实用，那么它们也就不可能出现在晶体这种固体材料之中了。毕竟，晶体是由原子构成的三维栅格，它们的生长方式是不断添加原子、拓展栅格，而这一过程在原子以重复方式组合时最有效。几十年来，晶体的观念止步于此：晶体是重复的结构，仅此而已。然后到了1982年，谢赫特曼离开以色列海法理工学院进行学术休假，来到美国国家标准局。他在那里的实验室摆弄铝锰合金，但合金的衍射图样却看不出晶体学家熟知的任何标准对称。实际上，它们原子排列的样子，似乎正像彭罗斯在数学世界中刮起旋风的那些正五边形、长菱形、风筝形和飞镖形。谢赫特曼说：“我对彭罗斯贴砖当然是很熟悉的。”但他没法认为它们和合金有关。“我不知道图样反映的是什么。接下来的几个月我一次又一次地重复实验，等到休假快要结束，我已经完全了解它不是什么了，但还是不知道它是什么。”为了理解自己发现的东西，谢赫特曼像彭罗斯一样，向同样的直觉与常识发起了挑战。他不得已接受了禁用对称性与五边形带来的困惑和非重复性质。回以色列后，谢赫特曼满不情愿地得出结论：他发现了一种非重复的晶体原子结构。不过他和材料科学的其他人一样，一开始都不愿意将自己的发现称为晶体，而称之为“准晶体”（quasicrystal）。这就仿佛是彭罗斯的奇幻数学杀进了自然界中。谢赫特曼说：“80年来，晶体都被定义为‘有序且具有周期性的’物质，因为自1912年起，人们研究的晶体都具有周期性。直到1992年，国际晶体学联合会成立了一个委员会重新定义了‘晶体’，这是晶体学的一次范式转移。”理解、吸收谢赫特曼这一发现的困难，不仅在于破除思维惯性这一点。非周期晶体结构不只是让人陌生，还被认为是非自然的事物。回忆一下，一块彭罗斯贴砖的位置可以影响几千块贴砖之外贴砖的摆放，局部约束导致了全局约束。如果晶体是一个个原子堆积而成，那么应该没有哪条自然法则会允许彭罗斯贴砖那种内在的约束存在。结果人们发现晶体并不总是由原子一一堆聚而成。谢赫特曼说：“金属互化物的结构异常复杂，原胞很大。它们不是局域性的。”如果晶体不是逐渐积聚成形，而是一次生成很大的一块，相距很远的原子就会像彭罗斯贴砖那样，影响对方的位置。禁用对称性像许多禁忌一样，最终得到了接受，成为自然存在的一种合理形式。准晶体不仅成为学术研究新领域的课题，它们不寻常的结构还具有许多有用的性质。比如，不规则的原子构形可以降低材料的表面能，使其不易与别的物质粘黏。因此，准晶体可以用作不粘锅的表面材料。（彭罗斯发明他的新贴砖时，根本就没料到它会在晶体学领域开花结果，更别说拿来煎鸡蛋了。）准晶体往往还具有较低的摩擦系数和不易磨损的特性，因此，剃刀和手术用具这类接触人体的锋利工具，可以用准晶体作理想覆层。由于准晶体的结构从不重复，它们在电磁波下会形成独特的衍射图样。光电子研究者对它们如何影响光的透射、折射与光致发光效应很感兴趣。准晶体在过冷状态下，电阻会飙升接近无穷大。它们又能吸收红外辐射，迅速变热。这使它们成为3D 打印的高价值添加剂。3D 打印通常用塑料粉末作为主原料，混入准晶体粉末后，在红外光照射下，准晶体粉末会迅速升温，将周围的塑料颗粒融化，使它们粘黏固定在一起。没人知道禁用对称性的故事会怎样完结。数学家继续探索着彭罗斯贴砖的性质，准晶体也还是基础与应用研究的课题。但它们经历了一段不可思议的旅程。在过去的40年里，五轴对称由不切实际变得富有价值，由违背自然变为合乎自然，由离经叛道变成主流课题。对于这场转变，我们要感谢那两位学者，他们推动传统观念进一步发展，从而揭示出自然界无穷变化的新形式。
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