《代数的历史》：美国数学学会推荐必读经典

彼得森（Ivars Peterson）在《当代数学研讨》一文中曾说：“对大多数外行人来说，现代数学是一块陌生的领地……数学是一个值得探索的世界……但可悲的是，外行人进入这一世界的道路似乎太少了。”

代数学作为数学中的重要分支，随着历史的发展，其抽象层次越来越高，到如今，近世代数（modern algebra）已经被称为“抽象代数”。

正如《代数的历史》的引言中也说：“代数学已经成为所有智力学科中最纯粹、最严格的学科，它的研究对象是对抽象的抽象的再抽象，非数学专业人士几乎无法领会到其成果的巨大威力和非凡魅力。”

许多人看到“抽象”二字就会敬而远之，更别说还和“代数”放到一起。我们能否找到进入代数世界的旅行指南呢？

《代数的历史》是为大众写的一本代数学历史书，你只需带上好奇心，就可以和作者一起踏上一段激动人心的数学之旅。

约翰·德比希尔（John Derbyshire）

本书的作者约翰·德比希尔（John Derbyshire）是一名小说家、数学科普作家、评论家和专栏作者，他与家人一起生活在纽约长岛。德比希尔在20世纪60年代就读于伦敦大学学院数学系。80年代以来一直为报纸和杂志撰写书评和评论。

德比希尔著有多部数学科普著作，其中《代数的历史》更是被美国数学学会选为必读读物，并被译为7种语言，享誉全球。

在本书中，数学和历史携手并进。为了帮助读者熟悉或回忆有关的数学概念，作者特意在章节之间穿插了数学基础知识作为铺垫。

全书共有6个这样的知识性章节：数与多项式、三次方程和四次方程、单位根、向量空间和代数、域论、代数几何。仅喜欢阅读故事，或已经熟知这些知识的读者可以跳过这些章节。当然，书中大部分数学符号和表述都是标准和通用的，因此接受过中学教育的读者想必都可以轻松读懂。

作者讲述了从公元前1800年到现代的代数历史，并根据不同的抽象层次把本书分成三个部分：未知量、普遍算术和抽象层次。他在引言中特别提到：“这本书不是教材，我只希望能够展示一些代数学概念的模样，以及后来的代数学概念是如何从先前的概念中发展而来的，哪些人扮演了重要的角色，历史背景又是怎样的。”

本书英文版出版于2005年，距今已有16年。首个中文译本出版于2010年，到现在也11年了。在中文译本面世之后，许多热心读者提出了改进建议。本次修订一方面借鉴了第一版翻译，另一方面也参考了诸如豆瓣书评里的各种建议。

因本次为修订版，中文译本书名延续第一版的《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪》。原书名为Unknown quantity：a real and imaginary history of algebra，使用了双关的手法：real (number)和imaginary (number)在代数学（或更准确地说，在复数中）分别指代实数和虚数，而在日常中则表示真实和虚构——可以说，在历史中，这两个词也往往对应“史实”和“杜撰”。

虚与实在绘画艺术、文学创作、建筑设计等领域也指代一种表现手法。虚与实的关系既是对立又是交叉的；实境和虚境相互渗透，可以创造出令人回味的深远意境。

历史的主体是生活在时空范围中的人，代数学的历史则是由那些数学个体和群体及其活动组成的。各种史书所选的材料本身在虚实程度上就各有不同，再经过作者（和译者）的加工，投影到文字上，引起读者想象的整个过程也是虚实相间的。

“每一部科学史书都是高度简化的‘成功’史”，真实的历史远比这本书所描绘的要长得多，而且许多失败和错误也没有流传下来。同样地，尽管历史讲述过去的事，但过去的事并不等同于历史，但凡有人对事实加以记录，就会带有其主观性和选择性。因此，这部代数学史本身就是时间与空间的虚与实的结合体。

与第一版相比，本次修订版从体例到文字都有不小的变化。尤其，我们在本次翻译和修订时，特收集了读者向出版社提出的勘误意见，以及豆瓣评论上的修改建议，与编辑在校对时一一对照。读者们提到的第一版译文中存在的诸如专业名词误译、人名和著作翻译等问题，在本次修订时，我们都做了更正。

比如，对于大众熟悉的数学家，我们尽量使用常见译名，必要时结合《世界人名翻译大辞典》词条，另外，我们也参考了张奠宙先生、李文林先生等的数学史著作中使用的译名。书中出现的数学经典著作的标题翻译，我们主要参考了《数学史概论》《数学的世界》《数学史通论》等数学史专著，像卡尔达诺的《机遇博弈》则参考了陈希孺院士的《数理统计学简史》。

针对读者提出的专业名词误译，我们也尽量予以改进。如Motivic cohomology（原书误拼为motivitic cohomology）一词在第一版时翻译为“原动力上同调”。这个翻译不仅让非数学专业人士摸不着头脑，数学专业人士也可能不知其为何物。

Motivic cohomology的中文翻译有动机上同调、恒机式上同调、母题上同调、原相上同调等，在本次修订时使用了“原相上同调”这一译法，这是黎景辉教授在《代数K理论》一书中建议的，与“现相”（realization）相对，颇有味道。另外母题上同调的译法也很有艺术韵味，“母题”的译法可能来自徐克舰教授，感兴趣的读者可以阅读徐教授的《格罗登迪克的Motive与塞尚的母题》。

另外，universal一词的译法我也纠结了许久。熟悉代数学的朋友都知晓“泛性质”或“万有性质”（universal property），因此universal algebra和universal construction的翻译应该是“泛代数”（“万有代数”）和“泛构造”（“万有构造”）。

但在书中，universal algebra是与牛顿的universal arithmetic相对，而李文林先生已经将牛顿的universal arithmetic翻译为普遍算术或通用算术，如果用“泛算术”或“万有算术”，反而可能会造成阅读障碍。因此universal arithmetic和universal algebra使用了“普遍算术”和“普遍代数”的译法。

为了让熟悉代数学的朋友不产生误解，在注释中解释了“普遍代数”和“泛代数”是同一含义，并且在翻译universal construction时仍采用了常见的“泛构造”的译法。

还要注意的是，书中的“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指中世纪阿拉伯帝国统治下的中亚和西亚地区的数学。我们知道，阿拉伯人在保存和传播印度、希腊和中国的文化，以及为欧洲文艺复兴做准备方面做出了巨大贡献。书中提到的花拉子密、海亚姆等都是杰出的数学家，并且阿拉伯语al-jabr传入欧洲逐渐演变成algebra，成为“代数”一词的来源。

此外，我还有个疑问，希望有读者朋友可以解释：书中提到1659年费马给出了费马大定理n=4时的粗略证明，“高斯很久之后才给出了完整的证明”（Gauss provided the complete proof much later）。我们知道欧拉在1753年就对n=3的更难的情形给出了证明，高斯生活的年代比欧拉更晚，完整的证明应该在高斯之前就已经存在，为什么说高斯很久之后才给出了完整的证明？

此次译稿如仍有其他问题和不妥之处，请读者指正。

与大多数讲述历史的书籍一样，这并不是一本事无巨细的数学史书。数学史专家西格尔（Sanford L. Segal）评价本书的写作风格有一点“非正式”，而且在讨论解析几何时漏掉了费马的工作，也没有提到布尔巴基学派。

因此，“严谨”的读者在阅读时可能会觉得“不完美”。当然西格尔坦言本书“没有什么明显的数学错误……除了偶尔的惊人之语外，介绍大多数人时是公正而准确的。德比希尔的书对它的目标受众来说是优秀的”。

另外，本书对一些历史内容有所取舍。第九章专门介绍了源自中国的求解线性方程的算法以及矩阵的概念。《九章算术》中的方程章所讲述的内容就是现代的解线性方程组的“高斯消元法”，这一点是毋庸置疑的。然而本书没有更多地讲述中国古代的以算法为核心的代数发展，如负数的引进，开平方和开立方的算法，求解同余方程组的大衍求一术（中国剩余定理）、三次方程及高次方程的数值解法、天元术和四元数等。

想要了解中国古代代数学发展的读者，可以阅读钱宝琮先生、李俨先生、梁宗巨先生、李迪先生、吴文俊先生、李文林先生等数学史专家的中国数学史著作。

原书出版后的十多年来，代数学及其相关领域蓬勃发展。2005年，庞加莱猜想的证明还没有被正式接纳，所以，本次修订时我们特补充了注释。书中提到了美国数学学会2000年的分类表，业界近十多年来更常用的是2010版的分类标准MSC2010，未来可能更常用的是2020年发布的最新分类标准MSC2020。

在翻译过程中，还有一件事让我们非常感慨。书中提到的一些数学家在最近十多年里离开了我们：桑德斯·麦克莱恩在2005年去世，塞尔日·兰在2005年去世，亨利·嘉当在2008年去世，瓦尔特·法伊特在2014年去世，格罗特迪克在2014年去世，约翰·纳什在2015年去世，符拉基米尔·弗沃特斯基在2017年去世，安德烈·苏斯林在2018年去世，阿蒂亚爵士在2019年去世，约翰·康威和理查德·盖伊在2020年相继去世。

他们的离去是数学界的巨大损失。我们当继承他们的伟大思想，继续踏上探寻未知量的旅程。

希望本次修订能将作者想表达的观点传播出去，期待更多人通过阅读本书感受代数的魅力，对代数、对数学产生兴趣。未来的代数学历史，等你来谱写！ 

译者简介：

张浩，基础数学博士，毕业于中国科学院大学，现从事数学教育工作。业余热衷于数学传播和普及，个人公众号“一只寻找函子的猫”不定期发布数学科普话题。曾参与翻译《蒲公英数学图画书》，另有数学文化类译文散见于《数学文化》、“数立方”网站及“和乐数学”公众号等。

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