那些可以用快速排序秒杀的经典题（二）
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2021-06-11 23:59
之前我们说过了如何利用快速排序解决荷兰国旗问题，今天我们看下这两个题目
剑指 Offer 45. 把数组排成最小的数，leetcode 179 最大数
这两个问题根本上也是排序问题，但是我们可能并不知道为什么可以用排序来解决，下面我们来一起扒一下吧！
题目描述
输入一个非负整数数组，把数组里所有数字拼接起来排成一个数，打印能拼接出的所有数字中最小的一个。
示例 1:
输入: [10,2]
输出: "102"
示例 2:
输入: [3,30,34,5,9]
输出: "3033459"
题目解析
题目很容易理解，就是让我们找出拼接的所有数字中最小的一个，但是我们需要注意的是，因为输出结果较大，
所以我们不能返回 int 应该将数字转换成字符串，所以这类问题还是隐形的大数问题。
我们看到这个题目时，可能想到的是这种解题思路，我们首先求出数组中所有数字的全排列，然后将排列拼起来，最后再从中取出最小的值，
但是我们共有 n 个数，则有 n ！个排列，显然数目是十分庞大的，那么我们有没有其他更高效的方法呢？
大家先来思考一下这个问题。
我们假设两个数字 m , n 可以拼接成 mn 和 nm 那么我们怎么返回最小的那个数字呢？
我们需要比较 mn 和 nm ，假设 mn < nm 则此时我们求得的最小数字就是 mn
注：mn 代表 m 和 n 进行拼接，例如 m = 10, n = 1，mn = 101
当 mn < nm 时，得到最小数字 mn, 因为在最小数字 mn 中 ，m 排在 n 的前面，我们此时定义 m "小于" n。
注意：此时的 "小于" ，并不是数值的 < 。是我们自己定义，因为 m 在最小数字 mn 中位于 n 的前面，所以我们定义 m "小于" n。
下面我们通过一个例子来加深下理解。
假设 ｍ = 10，n = 1 则有 mn = 101 和 nm = 110
我们比较 101 和 110 ，发现 101 < 110 所以此时我们的最小数字为 101 ，又因为在最小数字中 10 (m) 排在 1(n) 的前面，我们根据定义则是 10 “小于” 1。
这时我们自己定义了一种新的，比较两个数字大小的规则，但是我们怎么保证这种规则是有效的？
我们怎么能确保通过这种规则，拼接数组中所有数字（我们之前仅仅是通过两个数字进行举例），得到的数就是最小的数字呢？
我们或许想当然的认为按照上面规则可以得到最小值，并没有经过证明。
下面我们一起来证明一下，我们为什么可以用上面的规则来解决这道题。
下面我们先来证明下规则的有效性
注：为了便于分辨我们用 A,B,C 表示数字， a,b,c 表示数字用十进制表示时的位数
（1）自反性：AA = AA，所以 A 等于 A
（2）对称性：如果 A "小于" B 则 AB < BA，所以 BA > AB 则 B "大于" A
（3）传递性：传递性的证明稍微有点复杂，大家需要仔细阅读。
如果 A“小于” B，则 AB < BA, 假设 A 和 B 用十进制表示时分别有 a 位和 b 位
则 AB = A * 10 ^ b + B , BA = B * 10 ^ a + A
例 A = 10, a = 2 (两位数) B = 1, b = 1 (一位数)
AB = A * 10 ^ b + B = 10 * 10 ^ 1 + 1 = 101
BA = B * 10 ^ a + A = 1 * 10 ^ 2 + 10 = 110
AB < BA 则 A * 10 ^ b + B < BA = B * 10 ^ a + A 整理得
A / (10^a - 1) < B / (10 ^ b - 1)
同理，如果 B “小于” C 则 BC < CB ,C 用十进制表示时有 c 位，和前面推导过程一样
BC = B * 10 ^ c + C
CB = C * 10 ^ b + B
BC < CB 整理得 B / (10 ^ b - 1) < C / (10 ^ c - 1);
我们通过
A / (10 ^ a - 1) < B / (10 ^ b - 1) ，B / (10 ^ b - 1) < C / (10 ^ c - 1);
可以得到
A / (10^a - 1) < C / (10 ^ c - 1)
则可以得到 AC < CA 即 A “小于” C
传递性证得。
注：可能用手机看证明过程不太舒服，大家可以后台回复 证明，获取清晰明了的手写版证明过程
我们通过上面的证明过程知道了我们定义的规则，满足自反性，对称性，传递性，则说明规则是有效的。
接下来我们证明，利用这种规则得到的数字，的确是最小的。我们利用反证法来进行证明
我们先来回顾一下我们之前定义的规则
当 mn < nm 时，得到最小数字 mn, 因为在最小数字 mn 中 ，m 排在 n 的前面，
我们此时定义 m "小于" n。
我们根据上诉规则得到的数字为 xxxxxxxx
假设存在这么一对字符串 A ,B ,虽然 AB < BA，即 A "小于" B，按照之前的规则，在组成的最小数中，A 应该排在 B 的前面，但是在最小数中 A 排在了 B 的后面。
则共有这么几种情况
见下图
其实我们可以归结为两大类， B 和 A 之间没有其他值， B 和 A 之间有其他值。
我们先来看没有其他值的情况
假设我们求得的最小值为 XXXXBA, 虽然 A "小于" B,但是在最后结果中 B 排在了 A 的前面，这和我们之前定义的规则是冲突的，大家思考一下这个值为最小值吗？
假设 XXXXBA为最小值，但是因为 A "小于" B ,则 AB < BA ,
所以 XXXXAB 一定小于 XXXXBA 。
和我们之前的假设矛盾。
当然 BAXXXX 也一样。
下面我们来看当 B 和 A 之间有其他值的情况
即 BXXXXA
我们可以将 XXXX 看成一个字符串 C，则为 BCA
因为求得的最小值为 BCA ,
在最小值 BCA 中 B 在 C 的前面，C 在 A 的前面，
则 BC < CB, CA < AC，B "小于 C", C “小于” A
根据我们之前证明的传递性
则 B "小于" A
但是我们假设是 A “小于” B ,与假设冲突，证得
综上所述，得出假设不成立，从而得出结论：对于排成的最小数字，不存在满足下述关系的一对字符串：虽然 A "小于" B , 但是在组成的最小数中 B 排在了 A 的前面.
好啦，我们证明了我们定义的规则有效，通过定义的规则可以得到拼接的最小值，下面我们直接看代码吧。继续使用我们的三向切分来解决
class Solution {
public String minNumber(int[] nums) {
String[] arr = new String[nums.length];
//解决大数问题，将数字转换为字符串
for (int i = 0 ; i < nums.length; ++i) {
arr[i] = String.valueOf(nums[i]);
}
quickSort(arr,0,arr.length-1);
StringBuffer str = new StringBuffer();
for (String x : arr) {
str.append(x);
}
return str.toString();
}
public void quickSort(String[] arr, int left, int right) {
if (left >= right) {
return;
}
int low = left;
int hight = right;
int i = low+1;
String pivot = arr[low];
while (i <= hight) {
//字典序
if ((pivot+arr[i]).compareTo(arr[i]+pivot) > 0 ) {
swap(arr,i++,low++);
} else if ((pivot+arr[i]).compareTo(arr[i]+pivot) < 0) {
swap(arr,i,hight--);
} else {
i++;
}
}
quickSort(arr,left,low-1);
quickSort(arr,hight+1,right);
}
public void swap(String[] arr, int i, int j) {
String temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
}
大家理解了上面的题目之后，还可以去解决一下 leetcode 179 最大数，思路一致，
另外大家还可以顺手解决下这几道题，很简单，一个快排搞定。
剑指 Offer 40. 最小的k个数，
面试题 17.14. 最小K个数，
leetcode 215 数组中的第K个最大元素
上面的题目都可以一下搞定，爽歪歪。所以这几道题目我们就不单独写一遍文章啦。
先就到这吧，拜了个拜，我们下期见。
巨人的肩膀
《剑指offer》、白小狮
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