关于泰勒公式展开
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2021-09-18 17:01
Taylor's Formula!
最近看书,看到泰勒公式展开,对它没有太大的印象,于是写一篇文章,整理一下个人对泰勒公式的理解吧!
先思考🤔一下,泰勒公式展开做的是什么?
对于某个函数(如),是否可以用该函数的一个点,以及该函数的导数去表示。
先做一个假设,有这么一个点a
使得 (1)
首先,把a
点代入 (1)
式子中得到,
接着对 (1)
式子两边⚽️求一次导数,并代入a
这个数值得到,
接着对 (1)
式子两边⚽️求两次导数,并代入a
这个数值得到,
接着对 (1)
式子两边⚽️求三次导数,并代入a
这个数值得到,
接着对 (1)
式子两边⚽️求四次导数,并代入a
这个数值得到,
......
接着对 (1)
式子两边⚽️求n
次导数,并代入a
这个数值得到,
通过以上多次求导,把的解带入(1)
式子中,得到
把上面的想法💡综合一下就是 泰勒近似定理
泰勒近似定理: 若在 光滑,则在所有次数为或更低的多项式中,当 在 附近时,最近似于 的是
经过一系列计算,我们得到了一个近似值,
那我们再给其补一个值,把近似值换成等于号!
假设,现在我们去求 。
我们先构造一个关于的函数,(2-1)式
把 代入 可以得到
把 代入 可以得到
根据中值定理,如果连续函数在区间内有零点,那么肯定可以在该区间找到一个值,其导数为 。
也就是说 存在一个使得 。
我们再构造一个函数
对于函数:
根据中值定理,存在一个使得 。
我们再构造一个函数
对于函数:
根据中值定理,存在一个使得 。
....
再构造n次函数 对于函数:
根据中值定理,存在一个使得 。
也就是 (3)式
注意到 ,(的最高次数为N,所有求(N+1)次导数,必然为0),所以(3)式
可求得
把上面的推导综合起来就是泰勒定理。
泰勒定理: 关于的N阶余项 ,其中c是介于x与a的一个数。于是可以写成
以上为白玉无冰关于 "泰勒公式展开"
的理解分享,如有错误欢迎指出,有任何想法,欢迎讨论!
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