关于泰勒公式展开

白玉无冰

共 1097字,需浏览 3分钟

 ·

2021-09-18 17:01

Taylor's Formula!

最近看书,看到泰勒公式展开,对它没有太大的印象,于是写一篇文章,整理一下个人对泰勒公式的理解吧!

先思考🤔一下,泰勒公式展开做的是什么?

对于某个函数(如),是否可以用该函数的一个点,以及该函数的导数去表示。

e^x 与一些函数

先做一个假设,有这么一个点a 使得   (1)

首先,把a点代入 (1)式子中得到,

接着对 (1)式子两边⚽️求一次导数,并代入a这个数值得到,

接着对 (1)式子两边⚽️求两次导数,并代入a这个数值得到,

接着对 (1)式子两边⚽️求三次导数,并代入a这个数值得到,

接着对 (1)式子两边⚽️求四次导数,并代入a这个数值得到,

......

接着对 (1)式子两边⚽️求n次导数,并代入a这个数值得到,

通过以上多次求导,把的解带入(1)式子中,得到


把上面的想法💡综合一下就是 泰勒近似定理

泰勒近似定理: 光滑,则在所有次数为或更低的多项式中,当 附近时,最近似于 的是

经过一系列计算,我们得到了一个近似值,

那我们再给其补一个值,把近似值换成等于号!

假设,现在我们去求

我们先构造一个关于的函数,(2-1)式

  • 代入 可以得到

  • 代入 可以得到

根据中值定理,如果连续函数在区间内有零点,那么肯定可以在该区间找到一个值,其导数为

也就是说 存在一个使得

我们再构造一个函数

对于函数:

根据中值定理,存在一个使得

我们再构造一个函数

对于函数:

根据中值定理,存在一个使得

....

再构造n次函数 对于函数:

根据中值定理,存在一个使得

也就是 (3)式

注意到 ,(的最高次数为N,所有求(N+1)次导数,必然为0),所以(3)式可求得

把上面的推导综合起来就是泰勒定理。

泰勒定理: 关于的N阶余项 ,其中c是介于x与a的一个数。于是可以写成

以上为白玉无冰关于 "泰勒公式展开" 的理解分享,如有错误欢迎指出,有任何想法,欢迎讨论!


参考资料:
普林斯顿微积分读本》
微积分的本质-3b1b

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