用数学的语言观察与思考

欢迎来到加州旅馆！加州旅馆拥有无穷间客房。您随时都可以入住。

经理（以下称为“经”）：欢迎来到加州旅馆！我是经理戴维·希尔伯特。本旅馆随时都有空房，因为我们拥有无穷间客房。您看走廊的前方，每间客房都标有房号，1、2、3 · · · 永远不会停止。您看起来很疲惫！我马上让客房部主管为您准备房间。

客房部主管（以下称为“主”）：经理，请您不要再轻易许诺说有多余房间了。今天客房已满，无法为客人办理入住。

经：你不用担心，把室内广播的话筒递给我。（拿起话筒）“不好意思打扰各位休息了。请1 号房的客人搬到2 号房，2号房的客人搬到3 号房”。

主：1 号房就变成空房了。

经：那么，就请这位客人入住1 号房。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主：驶来了一辆旅游大巴，车身贴着“自然数旅行团”的标签。

经：你数一下来了多少客人。

主：1、2、3 · · ·，怎么也数不完。貌似所有自然数都来了，总共有无穷位客人。而且客房已满，如果只来1 位或2 位还可以想想办法。现在来了无穷位客人，客房肯定不够了。

经：你不用担心。又到了室内广播的时间，“不好意思打扰各位休息了。现在麻烦各位搬到偶数房间。请1 号房的客人搬到2 号房，2 号房的客人搬到4 号房。3 号房的客人搬到6 号房。”

主：1 号房、3 号房、5 号房· · · 等奇数房间全部空出来了。

经：请大巴上的客人按顺序入住。第一位客人入住1 号房、第2 为客人入住3 号房、第n 位客人入住(2n − 1) 号房。这样一来，就能帮乘坐大巴的所有自然数客人安排房间。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主：经理，又来了好几辆自然数旅游大巴。

经：你先数好大巴数。

主：1、2、3 · · · 怎么也数不完。貌似来了无穷辆大巴。而且，每辆大巴内都坐着无穷位客人。客房肯定不够了。

经：你不用担心。按照到达旅馆的先后顺序给旅游大巴编号，1、2、3 · · · 再播放与刚才相同的广播内容。

主：和刚才一样，奇数房间都空出来了。但是，也只够一辆旅游大巴的客人入住。

经：你不用担心。旅游大巴里的客人都有2 个号码，一个是自己乘坐的大巴编号，一个是自己在大巴里的座号。例如，如果是3 号大巴的第5 名乘客，就记作(3, 5)。

主：不过经理，1 号大巴的客人全部入住后，客房就全满了。

经：像你这样安排的话当然会住不下。首先，请客人们按我说的排队。

主：麻烦客人们排一下队伍。请2 号大巴的客人后退一步，3 号大巴的客人后退2 步。

经：对了，等客人们排好队后，给他们发放新的号码牌。

主：请按从前到后，从左到右的顺序传递号码牌。

经：这样一来，每位客人都能拿到号码牌。然后我们只要按照新的号码牌安排房间即可。刚才已经请之前入住的客人都搬到偶数房间，所以现在奇数房间都空出来了。那么，请[1] 号客人入住1 号房，[2] 号客人入住3 号房，[n] 号客人入住(2n − 1) 号房。

主：即使来了无穷多辆大巴的客人，也能完美地安排他们入住。

经：加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主：又来了一辆大巴，是有理数旅游团。

经：你不用担心。加州旅馆随时都有房间。

主：这次来的客人是分数。

经：所有的分数都来了吗？

主：是的。仅1 和2 之间的分数就是无穷个，看起来比旅馆的房间还要多，能住得下吗？

经：你不用担心。刚才拿着大巴编号和座位编号2 个数字的客人都已经顺利入住了。

主：是的，给这些客人发放了新的号码牌，例如(1, 2) 换成[2]，(2, 3) 换成[8]，然后让他们按照新号码牌先后办理了入住。

经：只要把分数看成2 的数对就好了。例如客人1/2 就是(1, 2)，给他发放[2] 号，客人2/3 就是(2, 3)，换成[8]号。然后按照刚才的方法安排他们入住。

主：不过1/2 = 2/4，客人1/2 拿到的是[2] 号，而客人2/4 拿到的却是[8] 号。说起来，1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·，所以重复的客人太多了。

经：那就把重复的房间空出来。

主：这家旅馆太厉害了。分数的客人全部成功入住，而且还有空房。

经：时间不早了，我先去休息了。剩下的就交给你处理了。

主：（原来如此！不管来多少客人，只要给他们分配号码牌就可以了。如果我能处理好，经理一定会对我刮目相看。客人们快点来吧！）

导游（以下称为“导”）：这么晚还来打搅你们，真是不好意思。我是实数旅行团的导游。

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【注】这段对话是1924 年希尔伯特在哥廷根大学讲课时，为说明有限集合和无限集合的区别而使用的例子，被叫作“希尔伯特旅馆”。