前言

机器学习｜数学基础｜线性代数

Mathematics for Machine Learning

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6.4 线性变换

定义4

设有两个非空集合，如果对于中任一元素，「按照一定的规则」，总有中一个确定的元素和它对应

那么，这个规则称为从集合到集合的「映射」，将上述映射记作，并记

设，意思就是映射把元素变为

• 称为在映射下的「像」
• 称为在映射下的「源」
• 称为映射的「源集」
• 像的全体所构成的集合称为「像集」，记作，即，其中有

定义5：线性变换

设分别是维和维线性空间，T是一个从到的映射，如果映射满足

（1）任给，有

（2）任给,有

那么就称为从到的线性映射（或线性变换）

线性变换具有的一些性质：

（1）

（2）若，则

（3）若线性相关，则也线性相关

❝

注意：若线性「无关」，则

「不一定」线性无关

举个例子：若变换结果都是零向量，那么就算，那么最后都为零元素，也就不线性相关了

❞

（4）线性变换的像集是一个线性空间，称为线性变换的「像空间」

证明：

设

则有

证加法运算封闭性：

证数乘运算封闭性：

设

则有

八条运算也符合，这里不再进行细说

综上，线性变换的像集是一个线性空间

（5）使的的全体也是一个线性空间，称为线性变换的「核」

证明：

证加法运算封闭性：

设，有

那么

故

证数乘运算封闭性：

设，有

所以

综上，是一个线性空间

举例

例10

设有阶矩阵

其中

定义中的变换为

试说明为「线性变换」

注意：为维矩阵

注意是证明为「线性变换」，那么需要证明：

「证明」

设，则

所以为「线性变换」

「补充」

那么，有

也就是说：

• 线性变换的像空间其实就是由所生产的向量空间
• 的核就是齐次线性方程组的解空间

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

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