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这一结果可能会帮助研究人员回答一个更重要的问题，即如何将物体从第四维展平到第三维。
计算机科学家 Erik Demaine 和他的艺术家兼计算机科学家父亲 Martin Demaine 多年来一直在挑战折纸的极限。他们复杂的折纸雕塑被纽约现代艺术博物馆永久收藏。十年前，PBS 还播出了一部以他们为主角的艺术纪录片。这对搭档在 Erik 6 岁时开始合作，如今，Erik 已经成为了麻省理工学院的教授。他说，「我们有一家名为 Erik and Dad Puzzle Company 的公司，这家公司制作并向加拿大的玩具店销售拼图。」Erik 从他父亲那里学到了基础数学和视觉艺术，但 Martin 也从儿子那里学到了高等数学和计算机科学。「现在我们都是艺术家和数学家 / 计算机科学家了，」 Erik 说，「我们合作了很多项目，尤其是那些跨越很多学科的项目。」他们的最新成果是一项数学证明，去年 10 月份发表在《Computational Geometry》杂志上。论文链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0925772121000298在这篇题为《使用可数无限折痕对所有多面体流形进行连续展平》的论文中，Erik 等人表示，他们证明了，如果扩展标准折叠模型以允许可数无限折痕出现，则可以将 3D 中的任何有限多面体流形连续平展为 2D，同时保留固有距离并避免交叉。这一结果回答了 Demaine 父子和 Erik 博导 Anna Lubiw 2001 年提出的一个问题。他们想知道是否有可能取任何有限多面体（或 flat-sided）形状（比如立方体，而不是球体或无限大的平面)，然后用折痕将其折平。当然，你不能将形状剪开或撕裂。此外，形状的固有距离还要保持不变，「也就是说，『你不能拉伸或收缩这个材料』，」Erik 说。而且他指出，这种类型的折叠还必须避免交叉，这意味着「我们不希望纸张穿过自己」，因为这在现实世界中不会发生。「当所有东西都在 3D 中连续移动时，满足这些限制将非常具有挑战性」。综上所述，这些约束意味着简单地挤压形状是行不通的。Erik 父子等人的研究表明，你可以完成这种折叠，但前提是使用无限折叠策略。不过在此之前，几位作者在 2015 年发表的一篇论文中也提出了另一项实用技术。https://erikdemaine.org/papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf在这篇论文中，他们研究了一类更简单的形状的折叠问题：正交多面体，其面以直角相交，并且垂直于 x、y 和 z 坐标轴中的至少一个。满足这些条件会强制形状的面为矩形，这使得折叠更简单，就像折叠冰箱盒一样。「这种情况比较容易算出，因为每个角看起来都一样。这只不过是两个面垂直相交而已。」Erik 说到。2015 年取得成功后，研究人员开始使用这种展平技术来处理所有有限多面体。然而，非正交多面体的面可能是三角形或梯形，适用于冰箱盒子的折痕策略不适用于棱锥体。并且对于非正交多面体来说，任何有限数量的折痕总是产生一些在同一个顶点相交的折痕。因此 Erik 等人考虑使用其他方法来规避这个问题。经过一番探索，他们找到了一种解决非凸面物体展平问题的方法——立方体晶格（cube lattice），它是一种三维的无限网格。在立方体晶格的每个顶点处，有许多面相交并共享一条边，这使得在任何一个顶点处实现展平都是非常困难的。但研究人员最终还是找到了解决方案。首先，他们找到一个「远离顶点」且可以展平的点，然后再找到另一个可以展平的点，不断重复这个过程，靠近有问题的顶点，并在移动时将更多的位置展平。这个过程需要一直持续下去，一旦间断，就会有更多问题需要解决。本文作者之一、新加坡国立大学的 Jason Ku 表示：「在有问题的顶点附近，利用让切片越来越小的方法将能够展平每个切片。」「在这种情况下，切片并不是实际的切割，而是用于想象将形状分解成更小块并将其展平的概念性切片。然后我们在概念上将这些小切片『粘合』在一起，以获得原始表面。」Erik Demaine 说道。研究人员将同样的方法应用于所有非正交多面体。通过从有限的「概念」切片迁移到无限的「概念」切片，他们根据数学上极限的思想创建了一个程序，得到了展开的平面，解决了最初的问题。美国史密斯学院的计算机科学家和数学家 Joseph O'Rourke 称赞道：「我从来没有想过要用无限的折痕，他们以非常聪明的方式改变了构成解决方案的标准。」Erik Demaine 尝试将这种无限折叠的方法应用于更抽象的形状。O'Rourke 最近建议使用该方法将四维对象扁平化成三维。同时，Erik Demaine 表示他们仍然想探索是否可以用有限的折痕来展平多面体，并乐观地相信这是可能的。说 Erik Demiane 是神童一点也不为过。他 12 岁到加拿大读书，14 岁拿到学士学位提前毕业。20 岁在 MIT 任教，21 岁就成为教授，23 岁在滑铁卢大学发表博士论文，并获得加拿大「总督金牌」和 NSERC 博士奖学金，同年拿到麦克阿瑟奖。而 12 岁之前，Erik 是在家里由自己的父亲 Martin Demaine 教学文化知识。尽管 Martin 只有高中学历，但他却是知名的艺术家和数学家。Erik 的主要研究方向就是折纸算法和计算理论，现在和他的父亲 Martin 一起在 MIT 任教。他们在计算机中进行大量的算法模拟，仿真折纸的过程，并基于此设计真实世界中的折纸艺术品。同时，通过创作折纸艺术品，Erik Demiane 能够反推改进算法，改进的算法又进一步激发折纸艺术创作，从而形成一个现实 - 虚拟，算法 - 艺术的循环。https://www.quantamagazine.org/father-son-team-solves-geometry-problem-with-infinite-folds-20220404/https://www.x-mol.com/paper/1386871662666866688/thttp://www.archcollege.com/mobile.php?m=index&a=appDetails&id=28655
