【时序分析】Prophet

一、历史研究和瓶颈

ARMA模型在趋势和季节上没有很好的处理，eta（exponential smoothing）和snaive（seasonal navie）虽然能抓住周季节性但不能抓到更长周期性。

二、介绍

2018年Facebook提出的prophet，主要是让分析师将业务知识融入到时序建模当中，同时能批量建模。它的核心思想是y=trend+seasonality+holiday+error。

1. 趋势项

饱和增长模型saturating growth model（非线性、sigmoid-like)和分段线性模型piecewise linear model（线性）。

● C为承载量carrying capacity，比如Facebook的用户量的C可能为网民数量。

● k为增长率。

● m为offset参数。

但上述公式有两个问题：（1）C不一定为常数，比如人口会增加，所以网民基数也会增加。（2）增长率不一定为常数，比如新产品增长率会更大。所以作者把C、k、m变为函数：

而分段线性模型如下：

prophet的变点选择可以人工或者自动，详见[2]。变点自动选择会基于Laplace分布，其中增长率变化量delta服从Laplace(0,tau)：

tau即为图中的lamda，tau越大，分布越“矮”，增长率变化越灵活，越容易过拟合。当tau趋向于0时，delta也趋向于0。delta也跟变点有着对应关系，当出现变点时，会采样delta出来：

在 Prophet 里面，是需要设置变点的位置的，而每一段的趋势和走势也是会根据变点的情况而改变的。在程序里面有两种方法，一种是通过人工指定的方式指定变点的位置；另外一种是通过算法来自动选择。在默认的函数里面，Prophet 会选择 n_changepoints = 25 个变点，然后设置变点的范围是前 80%（changepoint_range），也就是在时间序列的前 80% 的区间内会设置变点。...(略)，首先要看一些边界条件是否合理，例如时间序列的点数是否少于 n_changepoints 等内容；其次如果边界条件符合，那变点的位置就是均匀分布的，这一点可以通过 np.linspace 这个函数看出来。[2]

知乎：Facebook 时间序列预测算法 Prophet 的研究

2. 季节项

季节模型依赖于傅里叶级数（Fourier series），公式如下：

P为常规周期，比如P=365.25为年周期，P=7为周周期。由于使用了N个样本和2类波（sin和cos），所以模型需要估计2N个参数：

N是用于低通滤波的，所以N越大，越平滑，更快帮助模型拟合季节性。

3. 假期项

三、注意事项

1. tau和sigma分别控制趋势变点增长率变化量的Laplace分布和季节正弦/余弦波系数的正态分布，抽象来说控制的是模型的正则化。

2. 关于怎么引入分析师domain knowledge到模型中，作者给了一些建议：基于外部数据参考设置载重量C，结合业务场景人工设置变点、假期和季节周期，试着调整分布量tau、sigma和v。

3. 评估模型时，可以从与baseline模型的对比出发，有时大误差可能来自于异常值，对异常值处理后再训练模型，可能会有更好的表现。观测数据变化，有时候可能就是序列突然变化了，那就加个变点试试。

参考资料

[1] Taylor, S. J., & Letham, B. (2018). Forecasting at scale. *The American Statistician*, *72*(1), 37-45.

[2] Facebook 时间序列预测算法 Prophet 的研究：https://zhuanlan.zhihu.com/p/52330017